第2课时 圆锥的侧面积和全面积
一、课前预习 (5分钟训练)
1.圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm，高为________ cm，侧面积为________ cm2.
2.圆锥的轴截面是一个边长为10 cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________ cm2，锥角为_________，高为________ cm.
3.已知Rt△ABC的两直角边AC=5 cm，BC=12 cm，则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为_________ cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为_________ cm，面积为_________ cm2. 4.如图24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________.
图24-4-2-1 图24-4-2-2
二、课中强化(10分钟训练)
1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m，母线长为3 m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( )
A.6 m2 B.6π m2 C.12 m2 D.12π m2 2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为( )
A.a B.
33a C.3a D.a
233.用一张半径为9 cm、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________ cm.
4.如图24-4-2-2，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是______(结果保留根式). 5.一个圆锥的高为33 cm，侧面展开图是半圆，
求：(1)圆锥母线与底面半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积.
三、课后巩固(30分钟训练)
1.已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4 cm，则它的侧面积为_________ cm2(结果保留π). 2.如图24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 m的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是___________ m.(结果不取近似数)
图24-4-2-3 图24-4-2-4
3.若圆锥的底面直径为6 cm，母线长为5 cm，则它的侧面积为___________.(结果保留π)
4.在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2.那么S1∶S2等于( )
A.2∶3 B.3∶4 C.4∶9 D.5∶12
5.如图24-4-2-4是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为____________ cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).
6.制作一个底面直径为30 cm、高为40 cm的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为( )
A.1 425π cm2 B.1 650π cm2 C.2 100π cm2 D.2 625π cm2
7.在半径为27 m的广场中央，点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图24-4-2-5)，求光源离地面的垂直高度SO.(精确到0.1 m；
2=1.414，3=1.732，5=2.236，以上数据供参考)
参考答案
一、课前预习 (5分钟训练)
1.圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm，高为________ cm，侧面积为________ cm2.
思路解析：圆的面积为S=πr2，所以r=
25??=5(cm)；圆锥的高为132?52=12(cm)；侧面积
为
1×10π·13=65π(cm2). 2答案：5 12 65π
2.圆锥的轴截面是一个边长为10 cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________ cm2，锥角为_________，高为________ cm. 思路解析：S侧面积=
1×10π×10=50π(cm2)；锥角为正三角形的内角，高为正三角形的高. 2答案：50π 60° 53
3.已知Rt△ABC的两直角边AC=5 cm，BC=12 cm，则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为__________ cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为__________ cm，面积为___________ cm2. 思路解析：以BC为轴旋转所得圆锥的底面半径为5 cm，高为12 cm，母线长为13 cm.利用公式计算.
答案：65π 10π 65π
4.如图24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________.
图24-4-2-1
思路解析：圆锥的全面积为侧面积加底面积. 答案：16π
二、课中强化(10分钟训练)
1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m，母线长为3 m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( )
A.6 m2 B.6π m2 C.12 m2 D.12π m2 思路解析：侧面积=答案：B
2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为( )
A.a B.
11底面直径·π·母线长=×4×π×3=6π(m2). 2233a C.3a D.a
23思路解析：展开图的弧长是aπ，故底面半径是答案：D
a，这时母线长、底面半径和高构成直角三角形. 23.用一张半径为9 cm、圆心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________ cm. 思路解析：扇形的弧长为答案：3
4.如图24-4-2-2，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是_________(结果保留根式).
120???96? =6π(cm)，所以圆锥底面圆的半径为=3(cm).
2?180
图24-4-2-2
思路解析：如图，圆锥的侧面展开图是扇形，它的圆心角是
2?2???180 =90°，连结AB，
8?则△AOB是等腰直角三角形，OA=OB=8，所以AB=82?82=82.
答案：82
5.一个圆锥的高为33 cm，侧面展开图是半圆，
求：(1)圆锥母线与底面半径的比； (2)锥角的大小； (3)圆锥的全面积.
思路分析：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径，底面周长是展开扇形的弧长.锥角是轴截面的等腰三角形的顶角.知道圆锥母线和底面半径，就可由扇形面积公式求侧面积，底面积加侧面积就得圆锥全面积.
解：如图，AO为圆锥的高，经过AO的截面是等腰△ABC，则AB为圆锥母线l，BO为底面半径r.
(1)因圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr=πl，则
l=2. r(2)因
l=2，则有AB=2OB，∠BAO=30°，所以∠BAC=60°，即锥角为60°. r(3)因圆锥的母线l，高h和底面半径r构成直角三角形，所以l2=h2＋r2；又l=2r，h=33 cm，则r=3 cm，l=6 cm.
所以S表=S侧＋S底=πrl＋πr2=3·6π＋32π=27π(cm2). 三、课后巩固(30分钟训练)
1.已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4 cm，则它的侧面积为_________ cm2(结果保留π).
思路解析：S圆锥侧=答案：8π
11×2×π××4×4=8π. 222.如图24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 m的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是___________ m.(结果不取近似数)
图24-4-2-3
思路解析：小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的PB(如图).
则扇形的圆心角为
180???6=180°,因为P在AC的中点上，
??6所以∠PAB=90°.在Rt△PAB中，PA=3，AB=6， 则PB=62?32=35. 答案：35
3.若圆锥的底面直径为6 cm，母线长为5 cm，则它的侧面积为___________.(结果保留π)
思路解析：已知底面直径和母线长直接代入圆锥侧面积公式即可.
设圆锥底面半径为r，母线为l，则r=3 cm，l=5 cm，∴S侧=πr·l=π×3×5=15π(cm2). 答案：15π cm2
4.在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2.那么S1∶S2等于( )
A.2∶3 B.3∶4 C.4∶9 D.5∶12
思路解析：根据题意分别计算出S1和S2即得答案.在求S1和S2时，应分清圆锥侧面展开图(扇形)的半径是斜边BC，弧长是以AB(或AC)为半径的圆的周长. ∵∠A=90°，AC=8，AB=6，∴BC=
AC2?AB2=82?62=10.
当以AC为轴时，AB为底面半径，S1=S侧＋S底=πAB·BC＋πAB2=π×6×10＋π×36=96π. 当以AB为轴时，AC为底面半径，S2=S侧＋S底=80π＋π×82=144π. ∴S1∶S2=96π∶144π=2∶3，故选A. 答案:A
5.如图24-4-2-4是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为____________ cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).