习题5
5.1选择题
(1)一物体作简谐振动，振动方程为x?Acos(?t??2)，则该物体在t?0时
刻的动能与t?T/8（T为振动周期）时刻的动能之比为： (A)1：4 （B）1：2 （C）1：1 (D) 2：1
[答案：D]
(2)弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的功为 (A)kA2 (B) kA2/2 (C) kA2//4 (D)0
[答案：D]
(3)谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于 (A)?AA (B) ? 423A2A (D) ? 22[答案：D]
(C) ?
5.2 填空题
(1)一质点在X轴上作简谐振动，振幅A＝4cm，周期T＝2s，其平衡位置取作坐标原点。若t＝0时质点第一次通过x＝－2cm处且向X轴负方向运动，则质点第二次通过x＝－2cm处的时刻为____s。
[答案：
2s] 3
(2)一水平弹簧简谐振子的振动曲线如题5.2(2)图所示。振子在位移为零，速度为－?A、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲线上的____________点。振子处在位移的绝对值为A、速度为零、加速度为－?2A和弹性力为－KA的状态，则对应曲线上的____________点。
题5.2(2) 图
[答案：b、f； a、e]
(3)一质点沿x轴作简谐振动，振动范围的中心点为x轴的原点，已知周期为T，振幅为A。
(a)若t=0时质点过x=0处且朝x轴正方向运动，则振动方程为x=___________________。
(b) 若t=0时质点过x=A/2处且朝x轴负方向运动，则振动方程为x=_________________。
[答案：x?Acos(2?t/T??/2)； x?Acos(2?t/T??/3)]
5.3 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动；
(2)如题5.3图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)．
题5.3图 题5.3图(b)
解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用． 或者说，若一个系统的运动微分方程能用
d2?2????0 2dt描述时，其所作的运动就是谐振动．
(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力．
(2)小球在题5.3图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为?mgsin?，如题5.3图(b)中所示，
?S→0，所以回复力为?mg?.式中负号，表示回复力的方向始终与R角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O?为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上
因?S＜＜R，故??有
d2?mR2??mg?
dt令?2?g，则有 Rd2???2??0 2dt
5.4 弹簧振子的振幅增大到原振幅的两倍时，其振动周期、振动能量、最大速度和最大加速度等物理量将如何变化？
解：弹簧振子的振动周期、振动能量、最大速度和最大加速度的表达式分别为
T?m1,E?kA2 ?k2vm??A,am??2A?2?2?所以当振幅增大到原振幅的两倍时，振动周期不变，振动能量增大为原来的4倍，最大速度增大为原来的2倍，最大加速度增大为原来的2倍。
5.5单摆的周期受哪些因素影响？把某一单摆由赤道拿到北极去，它的周期是否变化？
解：单摆的周期为
T?2???2?l g因此受摆线长度和重力加速度的影响。把单摆由赤道拿到北极去，由于摆线长度不变，重力加速度增大，因此它的周期是变小。
5.6简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的？在什么情况下是异号的？加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增大？ 解：简谐振动的速度和加速度的表达式分别为
v???Asin(?t??0)a???Acos(?t??0)2
当sin(?t??0)与cos(?t??0)同号时，即位相在第1或第3象限时，速度和加速度同号；当sin(?t??0)与cos(?t??0)异号时，即位相在第2或第4象限时，速度和加速度异号。
加速度为正值时，振动质点的速率不一定增大。
5.7 质量为10?10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8?t??32?)3(SI)的
规律作谐振动，求：
(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2?5s与t1?1s两个时刻的位相差；
?t??0)，则知： 解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(A?0.1m,??8?,?T?2?1?s,?0?2?/3 ?4?1?1又 vm??A?0.8?m?s ?2.51m?s
am??2A?63.2m?s?2
(2) Fm?mam?0.63N
12mvm?3.16?10?2J 21Ep?Ek?E?1.58?10?2J
2E?当Ek?Ep时，有E?2Ep， 即
12112kx??(kA) 22222A??m 220∴ x?? (3) ????(t2?t1)?8?(5?1)?32?
5.8 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t?0时质点的状态分别是：
(1)x0??A；
(2)过平衡位置向正向运动； (3)过x?A处向负向运动； 2A2处向正向运动．
(4)过x??试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 ??x0?Acos?0
v???Asin?0?0将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
?1???2??322?x?Acos(t??)
T2?3x?Acos(t??)
T2