Earlybird
CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为( A )
A．7 km C．9 km
B．8 km D．6 km
解析：在△ACD中，由余弦定理得： AD2＋CD2－AC234－AC2
cosD＝＝30. 2AD·CD在△ABC中，由余弦定理得： AB2＋BC2－AC289－AC2cosB＝＝80. 2AB·BC
因为∠B＋∠D＝180°，所以cosB＋cosD＝0， 34－AC289－AC2
即30＋80＝0，解得AC＝7.
14．(2019·呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的6－32
数据如图所示，则该图所示的小区的面积是4km.
解析：如图，连接AC，由余弦定理可知 AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝3，
Earlybird
故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝ACAD150°，＝，
sin∠ADCsin∠DCA
6－23·4
ACsin∠DCA32－6
即AD＝＝＝， 12sin∠ADC
2
11?32－6?21
?×＝故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝2×1×3＋2×?
22??6－32
(km)． 4
15．(2019·福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为22.6__m/s(精确到0.1)．
解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.
设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v. ADAD在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.
cos∠BADcos60°
Earlybird
AD100
在Rt△ADC中，AC＝＝＝1002.
cos∠CADcos45°在△ABC中，由余弦定理，
得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，
所以(14v)2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos135°，所以v5010
＝7≈22.6，
所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.
16．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
解：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 S＝900t2＋400－2·30t·20·cos?90°－30°? ＝900t－600t＋400＝
2?1?2
900?t－3?＋300. ??
1103
故当t＝3时，Smin＝103，v＝1＝303. 3
即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
Earlybird
(2)设小艇与轮船在B处相遇．如图所示． 则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)， 600400故v＝900－t＋t2.
2
600400
因为0＜v≤30，所以900－t＋t2≤900， 2322
即t2－t≤0，解得t≥3.又t＝3时，v＝30， 2
故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于3. 此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20. 故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．