第八章 振动与波动
本章提要
1. 简谐振动
· 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。 · 简谐振动运动方程
x?Acos(?t??)
其中A为振幅，为角频率，（
称为初相位。
· 简谐振动速度方程
v?t+）称为谐振动的相位，t＝0时的相位
dx???Asin(?t??) dt· 简谐振动加速度方程
d2xa?2???2Acos(?t??)
dt· 简谐振动可用旋转矢量法表示。
2. 简谐振动的能量
· 若弹簧振子劲度系数为k，振动物体质量为m，在某一时刻m的位移为x，振动速度为v，则振动物体m动能为
Ek?12mv 2· 弹簧的势能为
Ep?12kx 2· 振子总能量为
E?Ek?EP11m?2A2sin2(?t??)+kA2cos2(?t??) 221=kA22?
3. 阻尼振动
· 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻
尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。
· 阻尼振动的动力学方程为
d2xdx?2???2x?0 2dtdt其中，?是阻尼系数，2???m。
（1） 当?2??2时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。 （2） 当?2??2时，不再出现振荡，称临界阻尼。 （3） 当?2??2时，不出现振荡，称过阻尼。
4. 受迫振动
· 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为
d2xdxF2?2???x?cos?Pt 2dtdtm其中，?2?km，为振动系统的固有频率；2??Cm；F为驱动力振幅。
· 当驱动力振动的频率?p等于?时，振幅出现最大值，称为共振。
5. 简谐振动的合成与分解
（1） 一维同频率的简谐振动的合成 若任一时刻t两个振动的位移分别为
x1?A1cos(?t??1) x2?A2cos(?t??2)
合振动方程可表示为
x?Acos(?t??)
其中，A和分别为合振动的振幅与初相位?
A?A12?A12?2A1A2cos(?2??1)
tan??A1sin?1?A2sin?2?
A1cos?1?A2cos?2（2） 二维同频率的简谐振动的合成?
若一个质点同时参与两个同频率的简谐振动，且此两个简谐振动分别在x轴和y轴上进行，运动方程分别为
x?A1cos(?t??1)?y?A2cos(?t??2)
其合振动方程为
x2y22xy2??cos(???)?sin(?2??1) 2122A1A2A1A2该为一个椭圆方程，椭圆形状由振幅A1、A2及相位差(?2??1)决定。?
（3） 二维不同频率的简谐振动的合成?
如果两个相互垂直的简谐振动的周期成简单的整数比，合运动的轨迹也是稳定的闭合曲线，这样合成振动的轨迹图形称为李萨如图形。?
?
6. 简谐波??
· 若波源作简谐振动，那么当这种振动在介质中传播时，介质中的各点也作与此频率相同的简谐振动，这样形成的波动称为简谐波。?
· 简谐波的波动方程?
xy?Acos?(t?)?
u或?
y?Acos2?(tx?)?T?或?
y?Acos2?(?t?x?)?
?
7. 简谐波的能量密度??
· 单位体积的介质中波的能量称能量密度，用w表示，其描述了介质中各处能量的分布情况?
w??Ex?????2A2sin2?t????V?u?· 平均能量密度表示一个周期内能量密度的平均值?
1Tw??wdtT01Tx??????2A2sin2?t??dt?T0?u?1???2A22· 波动的能流密度?
I?w?u?1?u?2A2?2?
8. 多普勒效应??
· 当观察者或波源相对于传播的介质运动时，观察者接受到的波的频率与波源的频率不同，这种现象称为多普勒效应。?
（1） 波源静止，观察者相对于介质运动?观察者接收到的频率为?
?1?v?u0??v?u0?u0???1????vTv??（2） 观察者静止，波源相对于介质运动?
观察者接收到的频率为?
?1?v?1?vvv????
??usTvT?usTv?us（3） 波源和观察者同时相对于介质运动?观察者接收到的频率为?
?1??
v?u0v?u0???
??usTv?us思考题
8-1 什么是简谐振动？下列运动哪个是简谐振动？（1）拍皮球时球的运动；（2）人的脉搏运动；（3）一个小球在球形碗底部的微小摆动。
答：简谐振动是物体在回复力（弹性力或准弹性力）作用下的运动。在运动过程中，平衡位置两侧的回复力方向不同；运动轨迹是正弦曲线 （1） 该现象好象是往复运动，实际上由于在运动过程中重力的方向始终不变，因而不是简谐振动
（2） 运动轨迹不是正弦曲线，不是简谐振动。
（3） 一个小球在球形碗底部的微小摆动时，重力的切向分力起着回复力的作用是简谐振动。
8-2 一个弹簧振子振动的振幅增大到两倍时，振动的周期、频率、最大速度、最大加速度和振动能量都将如何变化？
答：若弹簧振子振动的振幅增大到原来的两倍时，振动的周期和频率不变，最大速度和最大加速度增加二倍，振动能量增加四倍。
8-3 如果不忽略弹簧的质量，一个弹簧振子的振动周期比忽略弹簧的质量时的振动周期是变大还是变小？
答：若不忽略弹簧的质量，弹簧振子的振动周期相对于忽略质量时的周期较大。
8-4 设向右的方向为正方向，试指出在怎样的位置时简谐振动的质点 （1）位移为零；（2）位移最大；（3）速度为零；（4）速度为负最大值；（5）加速度为零；（6）加速度为正最大。
答：（1）考虑简谐振动质点位移表达式
x?Acos(?t??)
可得?t????2时，位移为零。这时质点在平衡位置。
（2） 同理，当?t???0时，位移最大。这时质点在两侧的端点。 （3） 考虑简谐振动质点速度表达式
v???Asin(?t??)
可得?t???0时，速度为零。这时质点在两侧的端点。
（4） 同理，当?t????2时，速度为负最大值。这时质点从右侧经平衡位
置向左运动。
（5） 考虑简谐振动质点加速度表达式
a???2Acos(?t??)
当?t????2时，加速度为零。这时质点在平衡位置。
（6） 同理，当?t????时，加速度为正最大。这时质点左侧端点（位移最大）位置。
?t??)，指出振动物体在下列位8-5 弹簧振子的简谐振动方程为x?Acos(置时的位移、速度、加速度和所受弹性力的大小和方向：（1）正方向端点；（2）平衡位置且向负方向运动；（3）平衡位置且向正方向运动；（4）负方向端点。
答：（1）振动物体位于正方向端点的状态如下：