第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题
1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？
2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？
3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？
4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？
5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？
6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）xn?k 义是什么？
7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量xn?k的检验数?n?k 求最小值），其经济意义是什么？
?0，其经济意
?0（标准形为
ji的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 8．将ij 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确
1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
?y?0，说明在最优生产计 i6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量
划中，第i种资源已经完全用尽。
?y?0，说明在最优生产计 i7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量
划中，第i种资源一定还有剩余。
aij,cj,bia,c,b8．对于来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。
9．若某种资源的影子价格为u，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加
ku。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量xi?0，且xi所在行的 所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。 三、写出下列线性规划的对偶问题 （1）maxZ?3x1?2x2?x3 （2）maxz?2x1?2x2?3x3?x4
?x1?x2?x3?x4?12?x1?x2?2x3?5?4x?2x?x?7?2x?x?3x??1??123123???x3?x4?3?x1?3x1?2x2?x3?9?x,x?0,x3,x4无约束?x,x,x?0 ?123 ； ?12 ； minz?x1?2x2?3x3 （4）minz?x1?x2?2x3 （3）
?3x1?x2?2x3?5?2x1?x2?2x3?7?2x?4x?x?7?2x?3x?x?5??123123????x1?2x2?4x3?10??3x1?5x2?4x3?3?x,x?0,x3无约束?x,x?0,x3无约束 ?12 ； ?12 ； （5）maxz?7x1?4x2?3x3 （6）minz?5x1?4x2?3x3 ?4x1?2x2?6x2?24?3x?6x?4x?15?123?5x2?3x3?30??x?0,x3?0,x2无约束 ?1 ；
四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题 （1）min?7x3?8?2x1?8x?5x?4x?15?123?4x2?6x3?30???x2,x3?0,x1无约束 。
Z?3x1?2x2?x3 （2）maxz?2x1?2x2?4x3
?x1?x2?x3?6?2x1?3x2?5x3?2?x?3x?x?7x?3?x3?4?1?123??x2?x3?3??x1?4x2?6x3?5?x,x,x?0?x,x,x?0 ?123 ； ?123 ； （３）minz?12x1?8x2?16x3?12x4 （４）minz?5x1?2x2?4x3
?2x1?x2?4x3?2??2x1?2x2?4x4?3?x,x,x,x?0 ?1234 ；
（１）maxz?3x1?x2?2x4?7??6x1?3x2?5x3?12?x,x,x?0?123 ；
c五、对下列问题求最优解、相应的影子价格及保持最优解不变时j与bi的变化范围。 ?x1?x2?3x1 （２）maxz?9x1?8x2?50x3?19x4
?2x1?x2?2x3?2?3x1?2x2?10x3?4x4?18??3x?2x?x?34x3?x4?6?1?23?? ?x1,x2,x3?0 ； ?x1,x2,x3,x4?0 ； （３）maxz?x1?4x2?3x3 （４）maxz?6x1?2x2?10x3?8x4
?5x1?6x2?4x3?4x4?20?3x?3x?2x?8x?25?2x1?2x2?x3?4?1234??x?2x?2x?6?122?4x1?2x2?x3?3x4?10?x,x,x?0?x,x,x,x?0?123 ； ?1234 ．
六、已知下表（表3—1）为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中x4,x5为松弛变量，
问题的约束为 ? 形式
表 3—1 x2 x4 x1 x3 x5 x3 5/2 5/2 0 1 0 1/2 －1/2 －４ 1 0 0 1/2 －1/6 －４ ０ 1/3 －２ x1 cj?zj （１）写出原线性规划问题； （２）写出原问题的对偶问题；
（３）直接由表３—１写出对偶问题的最优解。
七、某厂利用原料Ａ、Ｂ生产甲、乙、丙三种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利
润及有关数据如表1—4所示，分别回答下列问题： 表 ３—２ 甲 乙 丙 原料拥有量 A B 单件利润 6 3 4 3 4 1 5 5 5 45 30
（1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划；
（2）若产品乙、丙的单件利润不变，产品甲的利润在什么范围变化，上述最优解不变？ （3）若有一种新产品丁，其原料消耗定额：Ａ为３单位，Ｂ为２单位，单件利润为２．５
单位．问该种产品是否值得安排生产，并求新的最优计划； （4）若原材料Ａ市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原材料Ｂ如数量不足可去市场购
买，单价为０．５，问该厂应否购买，以够劲多少为宜？
（5）由于某种原因该厂决定暂停甲产品的生产，试重新确定该厂的最优生产计划．
八、某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过Ａ、Ｂ、Ｃ三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润见表３—４。 表 ３——４ 甲 乙 丙 设备能力（台时） Ａ Ｂ Ｃ １ １０ ２ １ ４ ２ １ ５ ６ １００ ６００ ３００ 单位产品利润（元） １０ ６ ４ （１）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划； （２）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产？如产品丙每件的利润增加到
50/6 ，求最优生产计划。
（４）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？
（５）设备A的能力如为100+10? ，确定保持原最优基不变的? 的变化范围。
（６）如有一种新产品丁，加工一件需设备A、B、C的台时各为1、4、3小时，预期每件
的利润为8元，是否值得安排生产？
（７）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，试确定最优计划的变化。
《运筹学》
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题解答
二．解：（1）√ （2）√（3）X（4）√(5) √（6）√（7）X（8）X（9）X（10）X 三、（1）minw?5y1?7y2?9y3 （2）minw?12y1?y2?3y3