第1讲 绝对值不等式
一、知识梳理 1．绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|
1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系： (1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当ab≤0且|a|≥|b|时，等号成立．
(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．
2．解绝对值不等式的两个要点
(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．
(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，
并起来”．
二、教材衍化
1．求不等式3≤|5－2x|<9的解集．
????|2x－5|<9，?－9<2x－5<9，?－2 解：由题意得?即?解得?不等式的 ???|2x－5|≥3，2x－5≥3或2x－5≤－3，x≥4或x≤1，??? 解集为(－2，1]∪[4，7)． 2．求不等式|x＋1|＋|x－2|≤5的解集． ?x<－1，?－1≤x≤2，?? 解：不等式|x＋1|＋|x－2|≤5，等价于?或?或 ??－x－1－x＋2≤5x＋1－x＋2≤5????x>2， ?解得－2≤x≤3，所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤3}． ?x＋1＋x－2≤5，? 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( ) (2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为?.( ) (3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、易错纠偏 常见误区(1)解集中等号是否成立不注意； (2)含参数的绝对值不等式讨论不清． 1．不等式|x－4|＋|x－1|－3≤2的解集． ???x≤1，?1 解： 不等式等价于?或?或?解得0≤x≤5，故不等式|x－ ?2－2x≤2??0≤2?2x－8≤2，?? 4|＋|x－1|－3≤2的解集为[0，5]． 2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，求实数k的值． 解：因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2. 含绝对值不等式的解法(师生共研) (2020·安徽安庆质量检测)已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值． 【解】 (1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x， 由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0， 当x>1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解； 11 当－≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，得－≤x≤0； 2211当x<－时，1－x－(－2x－1)≥0，得－2≤x<－. 22所以不等式的解集为{x|－2≤x≤0}． ?x≥a，?x (2)由|x－a|＋3x≤0，可得?或? ??4x－a≤02x＋a≤0，?? x≥a，?x 即?a或?a x≤x≤－.??2?4? 当a>0时，不等式的解集为{x|x≤－}． 2由－＝－1，得a＝2. 2 当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意． ??a???. x≤当a<0时，不等式的解集为x?4??? aa由＝－1，得a＝－4. 4综上，a＝2或a＝－4. 含绝对值不等式解法的常用方法 a