专题08 平面解析几何（解答题）
1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线
x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│?│MP│为定值？并说明理由． 【答案】（1）
M的半径r=2或r=6；（2）存在，理由见解析.
M过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上，且
【解析】（1）因为
A,B关于坐标原点O对称，所以M在直线y?x上，故可设M(a, a).
因为
M与直线x+2=0相切，所以M的半径为r?|a?2|.
22由已知得|AO|=2，又MO?AO，故可得2a?4?(a?2)，解得a=0或a=4. 故
M的半径r=2或r=6.
（2）存在定点P(1,0)，使得|MA|?|MP|为定值. 理由如下：
设M(x, y)，由已知得
M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.
2222由于MO?AO，故可得x?y?4?(x?2)，化简得M的轨迹方程为y?4x.
因为曲线C:y?4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x??1为准线的抛物线，所以|MP|=x+1. 因为|MA|?|MP|=r?|MP|=x+2?(x+1)=1，所以存在满足条件的定点P.
【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.
2x2y22．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知F1,F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的两个焦点，P为C上一点，
abO为坐标原点．
（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P，使得PF1?PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
1
【答案】（1）3?1；（2）b?4，a的取值范围为[42,??).
【解析】（1）连结PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，?F1PF2?90?，PF2?c，
PF1?3c，于是2a?PF1?PF2?(3?1)c，故C的离心率是e?c?3?1. a1yyx2y2???1，2?2?1，（2）由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在．当且仅当|y|?2c?16，
2x?cx?cab即c|y|?16，①
x2?y2?c2，②
x2y2?2?1，③ 2abb41622由②③及a?b?c得y?2，又由①知y?2，故b?4．
cc2222a222222由②③得x?2?c?b2?，所以c2?b2，从而a?b?c?2b?32,故a?42.
c2当b?4，a?42时，存在满足条件的点P． 所以b?4，a的取值范围为[42,??)．
【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.
1x23．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C：y=，D为直线y=?上的动点，过D作C的两条切线，
22切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB过定点； （2）若以E(0，
5)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程． 22225?5???【答案】（1）见解析；（2）x??y???4或x2??y???2. 2?2???【解析】（1）设D?t,???1??,2?A?x1,y1?，则x12?2y1．
2
1由于y'?x，所以切线DA的斜率为x1，故2?x．
1x1?ty1?整理得2 tx1?2 y1+1=0.
设B?x2,y2?，同理可得2tx2?2 y2+1=0． 故直线AB的方程为2tx?2y?1?0． 所以直线AB过定点(0,)．
（2）由（1）得直线AB的方程为y?tx?121． 21?y?tx???2由?，可得x2?2tx?1?0． 2?y?x??2于是x1?x2?2t,y1?y2?t?x1?x2??1?2t?1.
2设M为线段AB的中点，则M?t,t???21??． 2? 由于EM?AB，而EM?t,t?2，AB与向量(1, t)平行，所以t?t?2t?0．解得t=0或t??1．
?2??2?5??当t=0时，|EM|=2，所求圆的方程为x2??y???4；
2??5??当t??1时，|EM|?2，所求圆的方程为x??y???2．
2??222【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.
x2y24．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆C:2?2?1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．
ab（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为原点，直线l:y?kx?t(t??1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点．
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