曲率的公式为，C=* ，有A组合，CA=（t12*p1+t22*p2）式中，
PA=4016.95，t1 =1，t2 =10，P1=2000*e-0.10 ,P2=6000*e-0.10*10,则有CA=55.40 。B组合，CB=35.40 。（1）对于A交易组合，根据公式，
久期衡量交易组合价格对收益率曲线平行变化的敏感度有以下近似式，
B=-D*B*
=-5.95*5%=-0.2975，
曲率衡量交易组合价格对收益率曲线平行变化的敏感度有以下更精确的关系式，B=-D*B*
+*B*C*(
)2, 则有
=-5.95*5%+*55.40*(5%)2=-0.2283
=-0.23，与
而实际交易组合价格对收益率变化的百分比为，
曲率关系式结果大体一致，这个结果说明，债券收益率变化较大时，曲率公式比久期公式更精确。（2）对于B交易组合，根据公式,
久期衡量交易组合价格对收益率曲线平行变化的敏感度有以下近似式， B=-D*B*
=-5.95*5%=-0.2975，
曲率衡量交易组合价格对收益率曲线平行变化的敏感度有以下更精确的关系式，0.2533。
而实际交易组合价格对收益率变化的百分比为，0.2573，与曲率关系式结果大体一致，
这个结果说明，债券收益率变化较大时，曲率公式比久期公式更精确。
9.1 Var与预期亏损的区别？预期亏损的长处？
VaR是指在一定的知心水平下损失不能超过的数量；预期亏损是在损失超过VaR的条件下损失的期望值，预期亏损永远满足次可加性（风险分散总会带来收益）条件。 9.2
一个风险度量可以被理解为损失分布的分位数的某种加权平均。VaR对于第x个分位数设定了100%的权重，而对于其它分位数设定了0权重，预期亏损对于高于x%的分位数的所有分位数设定了相同比重，而对于低于x%的分位数的分位
=-B=-D*B*
+*B*C*(
)2, 则有
=-5.95*5%+*35.40*(5%)2=-
数设定了0比重。我们可以对分布中的其它分位数设定不同的比重，并以此定义出所谓的光谱型风险度量。当光谱型风险度量对于第q个分位数的权重为q的非递减函数时，这一光谱型风险度量一定满足一致性条件。
9.3公告阐明，其管理基金一个月展望期的95%VaR=资产组合价值的6%。你在基金中有10w美元，如何理解公告
有5%的机会你会在今后一个月损失6000美元或更多。
9.4公告阐明，其管理基金一个月展望期的95%预期亏损=资产组合价值的6%，在你基金中有10w美元，如何理解公告
在一个不好的月份你的预期亏损为60000美元，不好的月份食指最坏的5%的月份
9.5 某两项投资任何一项都有0.9%触发1000w美元损失，而有99.1%触发100w美元损失，并有正收益概率为0，两投资相互独立。（a)对于99%置信水平，任一项投资VaR多少（b）选定99%置信水平，预期亏损多少 （c）叠加，99%置信水平VaR多少(d)叠加，预期亏损（e)说明VaR不满足次可加性条件但预期亏损满足条件
(1)由于99.1%的可能触发损失为100万美元，故在99%的置信水平下，任意一项损失的VaR为100万美元。
（2）选定99%的置信水平时，在1%的尾部分布中，有0.9%的概率损失1000万美元，0.1%的概率损失100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是
0.1%0.9%?100??1000?910万美元
1%1%（3）将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有0.009?0.009=0.000081的概率损失为2000万美元，有0.991?0.991=0.982081的概率损失为200万美元，有2?0.009?0.991=0.017838的概率损失为1100万美元，由于99%=98.2081%+0.7919%，因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的VaR是1100万美元。
（4）选定99%的置信水平时，在1%的尾部分布中,有0.0081%的概率损失2000万美元，有0.9919%的概率损失1100万美元，因此两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的预期亏损是
0.0000810.009919?2000??1100?1107万美元0.010.01（5）由于1100?100?2=200，因此VaR不满足次可加性条件，
1107?910?2=1820，因此预期亏损满足次可加性条件。
9．66假定某交易组合变化服从正态分布，分布的期望值为0。标准差为200w美元。（a)
一天展望期的97.5% VaR为多少(b)5天为多少（c)5天展望期99%VaR为多少？
（1）1天展望期的97.5% VaR为200N?1(0.975)=200*1.96=392 （2）5天展望期的97.5% VaR为5*392=876.54
2.33N?1(0.99)（3）1天展望期的99% VaR 为392*?1=392*=466
1.96N(0.975)因此，5天展望期的99% VaR 为5*466=1042
9.12假定两投资任意一项都有4%概率触发损失1000w美元，2%触发损失100w美元，94%
盈利100w美元。（a)95%置信水平，VaR多少（b)95%水平的预期亏损多少 （c）叠加，99%置信水平VaR多少(d)叠加，预期亏损（e)说明VaR不满足次可加性条件但预期亏损满足条件
（1）对应于95%的置信水平，任意一项投资的VaR为100万美元。
（2）选定95%的置信水平时，在5%的尾部分布中，有4%的概率损失1000万美元，1%的概率损失100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是
4%1% ?1000??100?820万美元5%5%（3）将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有0.04?0.04=0.0016的概率损失2000万美元，有0.02?0.02=0.0004的概率损失200万美元，有0.94?0.94=0.8836的概盈利200万美元，有2?0.04?0.02=0.0016的概率损失1100万美元，有2?0.04?0.94=0.0752的概率损失900万美元，有2?0.94?0.02=0.0376的概率不亏损也不盈利，由
0.95=0.8836++0.0376+0.0004+0.0284,因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的VaR是900万美元。
（4）选定95%的置信水平时，在5%的尾部分布中,有0.16%的概率损失2000万美元，有0.16%的概率损失1100万美元，有4.68%的概率损失900万美元，因此，两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的预
4.68%0.16%0.16%期亏损是 ?900??1100??2000?941.6万美元5%5%5%
（5）由于900?100?2=200，因此VaR不满足次可加性条件，
941.6?820?2=1640，因此预期亏损满足次可加性条件。
10.9某一资产的波动率的最新估计值为1.5% 昨天价格30美元 EWMA中λ为0.94 假定今天价格为30.50 EWMA模型将如何对波动率进行更新
在这种情形下，?n?1?0.015，?n?(30.50?30)/30?0.01667，由式(9-8)我们
2可得出?n?0.94?0.0152?0.06?0.016672?0.0002281
因此在第n天波动率的估计值为0.000281?0.015103，即1.5103%。
10.14 w=0.000004 α=0.05 β=0.92 长期平均波动率为多少 描述波动率会收敛
到长期平均值的方程是什么 如果当前波动率是20% 20天后波动率的期望值是多少
长期平均方差为ω/（1-α-β），即0.000004/0.03=0.0001333，长期平均波动率为0.0001333=1.155%，描述方差回归长期平均的方程式为E[σ2 n+k]=VL+(α+β)k(σ2 n- VL)这时E[σ2 n+k]=0.0001330+0.97k（σ2 n-0.0001330）如果当前波动率为每年20%，σ n=0.2/252=0.0126,在20天后预期方差为0.0001330+0.9720（0.01262-0.0001330）=0.0001471因此20天后预期波动率为0.0001471=0.0121，即每天1.21%。
10.17 w=0.000002 α=0.04 β=0.94 波动率近似为1.3% 估计20天后的每天波动率
把VL=0.0001，?=0.0202，?=20以及V(0)=0.000169带入公式
?252{VL?1?e[V(0)?VL]}得到波动率为19.88%。
??10.18 股票价格为30.2 32 31.1 30.1 30.2 30.3 30.6 33.9 30.5 31.1 33.3 30.8 30.3 29.9 29.8 用两种方法估计股票价格波动率
每天回报ui?ln(Si?Si?1) 周数 股票价格 价格比Si/Si?1
0 30.2 1 32 1.059603 0.057894 2 31.1 0.971875 -0.02853 3 30.1 0.967846 -0.03268 4 30.2 1.003322 0.003317 5 30.3 1.003311 0.003306 6 30.6 1.009901 0.009852 7 33 1.078431 0.075508 8 32.9 0.99697 -0.00303 9 33 1.00304 0.003035 10 33.5 1.015152 0.015038 11 33.5 1 0 12 33.7 1.00597 0.005952 13 33.5 0.994065 -0.00595 14 33.2 0.991045 -0.009 此时，?ui?0.094708，?ui2?0.01145
?(?)2???0.011450.0947082??0.02884 周收益率标准差的估计值为1314?(14?1)即周波动率为2.884%
0.02884?0.00545或每周0.545% 2?1410.19昨天收盘价300美元 波动率1.3% 今天收盘价298 （1）采用ewma 其中λ=0.94（2）garch模型 w=0.000002 α=0.04 β=0.94
(a)在这种情形下，?n?1?0.013，?n?(298?300)/300?-0.0066667，由式(9-8)
每周波动率的标准差为2我们可得出?n?0.94?0.0132?0.06?0.00666672?0.000161527
因此在第n天波动率的估计值为0.000161527?0.012709，即1.2709%。
222(b)这里GARCH(1,1)模型为?n?0.000002?0.04?n?1?0.94?n?1
2222由(a)知，?n，??(-0.0066667)?0.000044447，因此 ?0.013?0.000169?1n-12?n?0.000002?0.04?0.000044447?0.94?0.000169=0.00015886
2对于波动率的最新估计为?n?0.00015886=0.012604，即每天1.2604%。
10.23 VaR??N?1(X) (1) ?=1000/1.6448727 =607.94978 VaR??N?1(99%) =607.94978*2.326=1414.0912（万美元） （2） Prob???x??Kx?? K?0.05/1000?3?50000000 0.01?Kx-3 所以