勒贝格积分作业

一、单项选择题

1.设mE???，f(x)是E上处处有限的可测函数，则（）． (A) f(x)在E上勒贝格可积 (B) f(x)在E上黎曼可积 (C) f(x)是E上的简单函数 (D) 以上都不对

2.设mE???，f(x)与g(x)都在E上可积，则下列结论中正确的是（）． (A) f(x)?g(x)在E上可积 (B)

f(x)g(x)在E上可积 (C) f(x)?g(x)在E上可积 (D) f(x)?g(x)在E上可积 3.设f(x)???x,x?P0）．?x2,x?[0,1]\\P，其中P0是康托集，则

0?[0,1]f(x)dx?（ (A) 0 (B)

12 (C)

13 (D) 1 4.设f(x)是E上的可积函数，且?Ef(x)dx?0，则（）．

(A) 对E的任何可测子集e，有

?ef(x)dx?0

(B) 存在E的可测子集e，使?ef(x)dx?0

1.设mE???，则f(x)在E上有界可积是f(x)在E上有界可测的条件． 2.若f(x)是E上的勒贝格可积函数，则f(x)在E上有限．

3.设f(x)????x2,x是[0,1]中的有理数?f(x)dx? ． ?x3,x是[0,1]中的无理数，则?[0,1]1

4.设f(x)在E上可测，则f(x)在E上可积是f(x)在E上可积的条件．三、证明题

1.设由[0,1]中取出n个可测集E1,E2,?,En，假设[0,1]中任意一点至少属于这n个集合中的q个，试证其中必有一集合，它的测度大于或等于

2.设{fn(x)}是E上的非负可积函数列，若

q． n?Efn(x)dx?0，则fn(x)?0．

3.设mE???，{fn(x)}为E上几乎处处有限的可测函数列，证明

?1?Efn(x)fn(x)dx?0的充分必要条件是fn(x)?0．

4.设f(x)是E上的可积函数，en?E[f(x)?n]，证明limn?men?0．

n??5.求

m??lim(R)?mxsinmxdx

01?m2x21126.证明

lim(R)?n??nxdx?0

01?n2x217.设f(x)在R上可积，g(y)在R上可积，证明f(x)?g(y)在R?R上可积，并且

pqpqRp?q?f(x)g(y)dxdy?(?f(x)dx)?(?g(y)dy)

RpRq8.设{fn(x)}是E上一列可测函数，limfn(x)?f(x) a.e.于E，而且存在E上可

n??积函数F(x)，使得fn(x)?F(x) a.e.于E(n?1,2,?)．证明{fn(x)}依测度收敛于

f(x)．