第六章 非线性微分方程和稳定性
例6-1 试确定下列线性系统的奇点及其类型，求出它的平面轨线族，并做出相图。
?dx?dx??y?6x?y???dt?dt 1） ? 2）?，
dydy???5x??x???dt?dt?dx??x?3?y??dt 3） ? 4）
dy???3x??dt解 1） 因为 中心型奇点。
将原方程组化为
?dx??3x?2y??dt ?dy??2x?y??dt0?1?1?0，原点?0,0?是系统唯一的奇点。特征根为?i，该奇点是
10dyx? dx?y易求得平面轨线族方程为
x?y?C，
所以易知原方程组的相轨线是以原点为中心的圆周，它在xoy平面上的相图是如图6-1所示的同心圆族。
y 222o x
图6-1
2） 原点 O(0,0)为系统的唯一奇点，特征方程为
6?λ1??λ?1??λ?5??0，
?5?λ特征根?1?1,?2?5为同号相异实根且均大于零，奇点O(0,0)是不稳定结点。 将系统改写为
dy?5x ?dx6x?y这是齐次方程，可以得通解，即得系统的平面轨线族为
C(x?y)5?5x?y，(C为任意常数且可以取
现考虑轨线在相平面的图象。
从上面所求轨线方程易知方程组有两个直线解为
1?0）。 Cy??x和y??5x，
我们容易求得方程组的通解（解法见第五章）为
t5t??x(t)?C1e?C2e ?t5t??y(t)??5C1e?C2ey(t)y(t)?5C1et?C2e5t?5C1?C2e4t??5，当t???，说明除过则有 ，可见??t5t4tx(t)x(t)C1e?C2eC1?C2e轨线y??x，其它轨线当t???时，切着轨线y??5x进入原点（奇点）。在xoy平面上的相图如图6-2。
y o x y?x?0y?5x?0
图6-2
3）此系统的奇点为?0,3?。作平移变换 ：??x，??y?3，原方程组变为
?d????????dt ? （1）
?d???3???dt则O?0,0?为（1）的奇点，特征方程为
?1??1??2???3?0
?3??特征根?1,2?1?1?11i是一对共轭复根，实部为?，奇点O?0,0?为（1）稳定焦点。
22 由（1）得
dη?3ξ? dξ?ξ?η这是齐次方程，易求得通解
?22η?ξ??? η?ξη?3ξ?Cexp? arctan?ξ11??1122代回原变量，原系统的平面轨线族为 ?y?3??x?y?3??3x2?Cexp?2?22y?x?6?arctan?
11x??11在xoy平面上的相图如图6-3。
图6-3
4）此系统唯一的奇点为O?0,0?，对应的特征方程是 ??2??1?0
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