01.量子力学基础知识
【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm，这是Li原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以kJ·mol为单位的能量。
-1
2.998?108m?s?1????4.469?1014s?1?670.8m解： 11????1.491?104cm?1?7?670.8?10cm
?3414?1E?h?NA?6.626?10J?s?4.469?10sc ?6.6023?1023mol-1 ?178.4kJ?mol-1
【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10s，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？
-14-1
1hv?hv0?mv22解：
????2h?v?v0???m??12??34?2?6.626?10J??????34?2.998?10ms14?1??s??5.464?10s???9300?10m????9.109?10?31kg??
8?112
?2?6.626?10Js?4.529?10s????9.109?10?31kg???8.12?105ms?1
14?112【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：
（a） 质量为10-10kg，运动速度为0.01m·s的尘埃；
-1
（b） 动能为0.1eV的中子； （c） 动能为300eV的自由电子。
解：根据关系式：
h6.626?10?34J?s?22????10?6.626?10m?1mv10kg?0.01m?s(1)
(2)???hh?p2mT6.626?10?34J?s2?1.675?10?27kg?0.1eV?1.602?10?19J??eV??1 ?9.403?10-11mhh(3) ???p2meV ?6.626?10?34J?s2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?300V
【1.6】对一个运动速度? ?7.08?10?11m
c（光速）的自由粒子，有人进行了如下推导：
h③h?④E⑤1mv?p????mv?vv2
①②结果得出
m??1m?2的结论。上述推导错在何处？请说明理由。
解：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：
E?hvp?h/?
式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck常数。根据上述两式及早为人们所熟知的力学公式：
p?m?
知 ①，②，④和⑤四步都是正确的。 微粒波的波长λ服从下式：
??u/v
式中，u是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动速度υ ，但③中用了??u/v，显然是错的。
在④中，E?hv无疑是正确的，这里的E是微粒的总能量。若计及E中的势能，则⑤也不正确。
【1.7】子弹（质量0.01kg，速度1000m·s），尘埃（质量10-9kg，速度10m·s）、作布郎
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-1
运动的花粉（质量10-13kg，速度1m·s-1）、原子中电子（速度1000 m·s-1）等，其速度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义？
解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：
h6.26?10?34J?s?34?x???6.63?10m?1m??v0.01kg?1000?10%m?s子弹：
h6.626?10?34J?s?x???9?6.63?10?25m?1m??v10kg?10?10%m?s尘埃：
h6.626?10?34J?s?20?x???13?6.63?10m?1m??v10kg?1?10%m?s花粉：
h6.626?10?34J?s?6?x???7.27?10m?31?1m??v9.109?10kg?1000?10%m?s电子：
【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度??为?的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？
解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：
x??hm??hm2eV/m?1046.626?1?0Js?103V1031192?9.10?91?0kg?1.6?02?1C0?10?3.88?1?0m
这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。
?6【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约10m）观察不到电子衍射（用100000V电
压加速电子）。
解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：
hh1??1.226?10?9mpxh/?V1?1.226?10?9m10000?1.226?10?11m x?这不确定度约为光学光栅周期的10学光栅周期的10
－5
－5
倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光
倍，用光学光栅观察不到电子衍射。
－
解法二：若电子位置的不确定度为106m，则由不确定关系决定的动量不确定度为：
在104V的加速电压下，电子的动量为：
h6.626?10?34Js?px???x10?6m?6.626?10?28Jsm?1 px?m?x?2meV?2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?104V?5.402?10?23Jsm?1由Δpx和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为：
??arcsin??arcsin?pxpx?6.626?10?28Jsm?1?arcsin??23?1??5.402?10Jsm?arcsin10?5?0o衍射。
这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上。因此，用光学光栅观察不到电子
?d222??4ax??2?ax2dx?的本征函数，求其本征值。 【1.11】??xe是算符?解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：
?d2?d222?22??ax2?4ax???4axxe?2??2??dx??dx?
222d?2xe?ax?4a2x2xe?axdx
22d?ax2?e?2ax2e?ax?4a2x3e?axdx??????2axe?ax22?4axe?ax2?4axe23?ax2?4axe23?ax2
??6axe?ax??6a?
因此，本征值为?6a。
d22【1.12】下列函数中，哪几个是算符dx的本征函数？若是，求出本征值。
x3 e,sinx,2cosx,x,sinx?cosx
d2d2x? ex22解：dx，e是dx的本征函数，本征值为1。 d2d2sinx?1?sinx,2sinx是dx2的本征函数，本征值为1。 dxd2(2cosx)?2cosxdx2
dim?【1.13】e和cosm?对算符d?是否为本征函数？若是，求出本征值。
dim?ie?ieim?im?解：d?，im??me
idim?所以，e是算符d?的本征函数，本征值为?m。
dicosm??i??sinm??m??imsinm??ccosm?而d?
i
d所以cosm?不是算符d?的本征函数。
i【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为
2n?xsinll n?1,2,3???
式中l是势箱的长度，x是粒子的坐标?0?x?l?，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均
?n?x??值。
解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：
222hd2nπxhd2nπnπx?ψ(x)?-H(sin)?-(cos)n8π2mdx2ll8π2mdxlll h22n?n?n?x??2??(?sin)8?mllll h2n2?22n?xn2h2??2?2?sin??n(x)28?mlll8ml 22nhE?8ml2 即：
??n(x)?c?n(x),x?无本征值，只能求粒子坐标的平均值： （2）由于x*??l?2n?x2n?x?*????dx?x???n?x?x?n?x?dx???sinx??sin?000l?l??l?l?
x??2l2l?1?cos2n?l?2?n?x???xsin?dx?dx??0x??0ll2???l???
1?x2ll?2n?x?lll2n?x???0?sindx??xsin?0?l?22n??l?2n??0l? l?2
?x?n?x??c?n?x?,p?xpll??（3）由于
10无本征值。按下式计算px的平均值:
*?x?n?x?dxpx???n?x?p
2n?x?ihd?2n?xsin?sindx??0ll?2?dx?ll nihln?xn?x??2?sincosdx?00lll ??1【1.16】求一维势箱中粒子在?1和?2状态时，在箱中0.49l~0.51l范围内出现的概率，并与图1.3.2（b）相比较，讨论所得结果是否合理。
解：（a）
?1?x??2?x2?xsin?12?x??sin2ll ll