第18章 平行四边形 专项训练
专训1.矩形性质与判定的灵活运用
名师点金：
矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质．它的性质可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．
判定一个四边形是矩形可从两个角度考虑：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．
利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想)
1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．
(第1题)
利用矩形的性质与判定判断线段的数量关系
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一点，BD＝DC，P是BC上的任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．试判断线段PE，PF，AB之间的数量关系，并说明理由．
(第2题)
利用矩形的性质与判定证明角相等
3．如图，在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.
(第3题)
利用矩形的性质与判定求面积
4．如图，已知点E是?ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；
(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．
(第4题)
专训2.菱形性质与判定的灵活运用
名师点金：
菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面： (1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．
利用菱形的性质与判定求菱形的高
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB. (1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．(计算结果保留根号)
(第1题)
利用菱形的性质与判定求菱形对角线长
2．如图，在矩形AFCG中，BD垂直平分对角线AC，交CG于D，交AF于B，交AC于O.连接AD，BC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若E为AB的中点，DE⊥AB，求∠BDC的度数；
(3)在(2)的条件下，若AB＝1，求菱形ABCD的对角线AC，BD的长．
(第2题)
利用菱形的性质与判定解决周长问题
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°，得到△CFE，连接AF.
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．
(第3题)
利用菱形的性质与判定解决面积问题
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证：△AEF≌△DEB； (2)证明四边形ADCF是菱形；
(3)若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
(第4题)
专训3.正方形性质与判定的灵活运用
名师点金：
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．
利用正方形的性质解决线段和差倍分问题
1．已知：在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.
(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．
(第1题)
利用正方形的性质证明线段位置关系
2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.
求证：AM⊥DF.
(第2题)
正方形性质与判定的综合运用
3．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.
(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形． (2)四边形PQRS在什么时候面积最大？
(3)四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．
(第3题)
专训4.特殊平行四边形性质与判定的灵活运用
名师点金：
特殊平行四边形的性质区别主要从边、角及对角线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊四边形的基础上再附加什么条件方面进行判定．
矩形的综合性问题 a．矩形性质的应用
1．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.
(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；
(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于点G，PH⊥EC于点H，试求PG＋PH的值．