集 美 大 学 试 卷 纸 2012 — 2013 学年 第 二 学期 试卷 考 生 信 息 栏 学院 专业 班级 姓名 学号 则当= 1 时, X服从 分布，它的自由度为 2 。 是取自总体X的一个样本，则?的无偏估计量是
27．设总体X服从参数为?的泊松分布，课程名称 适 用 概率论与数理统计（54学时） 卷别 B 考试 闭卷 □ 方式 开卷 □ ?2=1?Xi2?X ?ni?1*2sn?30. 则8. 设厦门地区16岁青少年身高服从正态N(?,?).今测得25个样本值,计算得：x?156，n厦门地区16岁青少年的平均身高?的置信水平为0.95的置信区间为 (143.6166, 168.3834) . 二、综合题（12分） 得 装 订 线 学院、专业、经济、管理类 年级 分 备注 1、参考数据??1.29??0.9,?(1.77)?0.96， t0.025(8)?2.306，t0.025(9)?2.262， 将3个球随机放入4个杯子中, 问杯子中球的个数最多为1, 2, 3的概率各是多少? 解 设A,B,C分别表示杯子中的最多球数分别为1,2,3的事件. 我们认为球是可以区分的, 于是, 放t0.025(25)?40.646， t0.025(24)?39.364，32=5.662、本试卷共6页 总分 题号 得分 阅卷人 一 二 三 四 五 六 七 八 球过程的所有可能结果数为 n?43. (1) 3A所含的基本事件数: 即是从4个杯子中任选3个杯子, 每个杯子放入一个球, 杯子的选法有C4种, 球的放法有 3! 种, 故 3C4?3!3P(A)??. …………4分 438得 分 (2) 一、填空题(共21分，每小题3分)。 . C所含的基本事件数: 由于杯子中的最多球数3, 即3个球放在同一个杯子中共有4种放法, 故 41P(C)?3?. …………4分 164(3)由于三个球放在4个杯子中的各种可能放法为事件A?B?C, 显然A?B?C?S, 且A,B,C互1.已知P(A)?0.5, P(AB)?0.2, P(B)?0.4, 则P(A?B)=0.3 2．设随机变量X具有以下的概率分布,. Xpi?10120.20.30.10.4 不相容, 故 2，则Y?(X?1)的概率分布律为 、 P2 P(B)?1?P(A)?P(C)?9. ………….4分 16Y 0 1 4 Pi 0.10.70.2 3.设随机变量X的分布函数为F（x）=A+Barctanx, ?? 考 生 信 息 栏 学院 专业 班级 姓名 学号 三、综合题（10分，每小题5分） 设随机变量X的分布函数为 得 x?0?0,?分 F(x)??x2,0?x?1 ?1,1?x?求 (1) 概率P{0.3?X?0.7}; (2) X的密度函数. 解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有 五、综合题（10分） 得 分 某公司有200名员工参加一种资格证书考试.按往年经验考试通过率为0.8,试计算这200名员工至少有150人考试通过的概率. 解 令Xi=?(1) P{0.3?X?0.7}?F(0.7)?F(0.3)?0.72?0.32?0.4; ………….5分 (2) 装 订 线 ?1,第i人通过考试,i?1,2,?,200,…………2分 ?0,第i人未通过考试X的密度函数为 x?0?0,?2x,0?x?1?. ………….5分 f(x)?F?(x)??2x,0?x?1??0,其它??0,1?x?依题意,P{Xi?1}?0.8,np?200?0.8?160,np(1?p)?32. …………2分 由中心极限定理得 P{?Xi?150}?P{?iXi?160/32}??150?160?/32200 四、证明题（12分，每小题6分） 得 ??P{??200i?1Xi??160?/ 32??1.77}…………4分 分 设二维随机变量(X,Y)的联合概率分布律为 1??(?1.77)??(1.77)?0.96,…………2分 即至少有150名员工通过这种考试的概率为0.96. Y X 1 2 3 2 1/9 0 0 3 2/9 1/9 0 4 2/9 2/9 1/9 求：（1）P(2?X?3,0?Y?2)； （2）U=max(X,Y) 的分布律； 解：（1）P(2?X?3,0?Y?2)=P(X?3,Y?1)?P(X?3,Y?2)=1/3。 …………6分 （2） U的可能取值为2，3，4，…… ……2分 P(U?2)?P(X?2,Y?1)?P(X?2,Y?2)?1/9 P(U?3)?P(X?3,Y?1)?P(X?3,Y?2)?3/9P(U?4)?P(X?4,Y?1)?P(X?4,Y?2)?P(X?4,Y?3)?5/9 ………..2分 得 分 六、综合题(共10分)。 设随机变量X,Y的联合点分布在以点(0,1), (1,0), (1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布, 试求随机变量Z?X?Y的数学期望与方差. 解 三角形区域G如图所示, G的面积为 1/2, 所以(X,Y)的联合概率密度为 ?2,(x,y)?Gf(x,y)??. 其它?0,E(X?Y)?11??????????(x?y)f(x,y)dxdy ?x3422???.…………5分 ?dx2(x?y)dy?(x?2x)dx???x?3?01?x0??03???11E[(X?Y)2]???????????(x?y)2f(x,y)dxdy?dx0??111?x2(x?y)2dy?21311(x?3x2?3x)dx?， 306?所以U的分布律为 U 2 3 4 P3 P 1/9 1/3 5/9 …………..2分 所以 D(X?Y)?E[(X?Y)2]?[E(X?Y)]2?P4 1.…………5分 18 得 分 七、综合题(共12分，每小题6分)。 水泥厂用自动包装机包装水泥, 每袋额定重量是50kg, 某日开工后随机抽查了9袋, 称得重量如下: 49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2 设每袋重量服从正态分布,问包装机工作是否正常(??0.05)? 解 (1) 建立假设H0:??50,H1:??50.…………2分 X??0S/n~t(n?1).…………2分 考 生 信 息 栏 学院 专业 班级 姓名 学号 设总体X服从指数分布, 其概率密度函数 ??e??x,x?0f(x,?)?? 0,x?0?其中??0, 是未知参数. x1,x2,?,xn是来自总体X的样本观察值, 求参数?的 （1）矩估计量； （2）最大似然估计值。 解 装 订 线 (1)因为EX=(2) 选择统计量T?11，所以参数?的矩估计量为?=…………6分 X?(3) 对于给定的显著性水平?, 确定k, 使P{|T|?k}?? 查t分布表得k?t?/2?t0.025(8)?2.306, 从而拒绝域为|t|?2.306.…………2分 (4) 由于x?49.9,s2?0.29, 所以 |t|?x?50s/n?0.56?2.036, |t|?0.56?2.036, n????xi?ni?1,xi?0………3分 （2）似然函数L(x1,x2,?,xn;?)???e?0,其它?显然L(x1,x2,?xn;?)的最大值点一定是L1(x1,x2,?,xn;?)??nelnL1(x1,x2,?,xn;?)?nln??????xii?1n的最大值点, 对其取对数故应接受H0, 即认为包装机工作正常.。…………4分 ?xi?1ni dlnL1(x1,x2,?,xn;?)n??由d???i?1n??xi?0, 可得参数?的最大似然估计值?n?xi?1n?i1.…………3分 x 得 分 八、综合题(共10分) P5 P6