《有限元》讲义
2.6 四结点四边形单元
(The four-node quadrilateral element)
前面介绍了四结点的矩形单元
其位移函数:
U V??1??2x??3y??4xy
??5??6x??7y??8xy
为双线性函数，应力，应变在单元内呈线性变化，比常应力三角形单元精度高。但它对边界要求严格。本节介绍的四结点四边形等参
元，它不但具有较高的精度，而且其网格划分也不受边界的影响。
对任意四边形单元（图见下面）若仍直接采用前面矩形单元的位移函数，在边界上它便不再是线性的（因边界不与x,y轴一致），这样会使得相邻两单元在公共边界上的位移可能会出现不连续现象（非协调元），而使收敛性受到影响。可以验证，利用坐标变换就能解决这个问题，即可以通过坐标变换将整体坐标中的四边形（图a）变换成在局部坐标系中与四边形方向无关的边长为2的正方形。
正方形四个结点i,j,m,p按反时钟顺序对应四边形的四个结点i j m p。
正方形的 ???1 和 ??1 二条边界，分别对应四边形的i，j边界和p,m边界；ξ=-1和ξ=+1分别对应四边形的i，p边界和j，m边界。
如果用二组直线等分四边形的四个边界线段，使四边形绘成一个非正交网格，那么该非正交网格在正方形上对应着一个等距离的规则网格（见图a, b）。 当然, 局部坐标上的A点与整体坐标的A点对应。
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一、四结点四边形等参单元的形函数及坐标变换
由于可以将整体坐标下的四边形单元变换成局部坐标下的正方形单元，对于这种正方形单元，自然仍取形函数为： U??1??2???3???2?? V??5??6???7???8??
引入边界条件，即可得位移函数：
U?NiUi
ijmp?V???NiVi
ijmp写成矩阵形式：
?f?e?U??Ni??????V??00?Np0Ni?0?ee??????d?Nd Np??式中形函数: Ni??,???1?1??i???1??i?? ?i,j,m,p? 4 按照等参元的定义,我们将坐标变换式亦取为:
Nixi?Nixi?Njxj?Nmxm?Npxp x?ijmp? y?ijmp?Nyii?Niyi?Njyj?Nmym?Npyp ?2?6?1?
式中形函数N与位移函数中的完全一致。
可以验证，利用坐标变换式(2-6-1)，可以把整体坐标系中的任意四边形单元（图a）变换成在局部坐标系中与四边形对应的边长为２的正方形。因此可以将上述位移函数和形函数用于任意四边形单元，并将形函数中的ξ,η理解为任意四边形单元的局部坐标。
这样由位移函数可以得到单元各点的位移。在四条边界上分别有ξ＝±和η＝±１，故边界上的位移呈线性变化，位移的连续性可得到保证。
于是，我们可以理解为：任意四边形单元是从基本的正方形单元变换过来的实际单元。因此又称正方形单元为母体单元，或基本单元。 例题：
为了加深理解，现考察实际单元为矩形单元的坐标变换，在2.4节中，我们定义局部坐标与整体坐标的关系是：
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??11?x?x0? ???y?y0?
ba 式中(x0 , y0 )为局部坐标原点。 由上第一式??1?x?x0?得： a11 x?a??x0??xj?xi????xi?xj?
22将其重新组合：
11??1??xi??1???xj x?22?1?1????1???xi?1?1????1???xj?1?1????1???xm?1?1????1???xp 4444 x?Nixi?Njxj?Nmxm?Npxp 自然同理可得: y?Niyi?Njyj?Nmym?Npyp
由此知,矩形单元可以看作是四结点四边形单元的特例，自然，它也是等参元。
《有限元法概论》（第二版）P172 中，是这样解释等参元的基本概念和推导方法的： 图形变换
四结点正方形(母元) 图形变换 四结点四边形(等参元) (ξ-η平面内) ───→ (x,y平面内)
进行图形变换的关键是进行图形结点坐标之间的变换：
正方形结点坐标 坐标变换 四边形结点坐标 (ξi,ηi) ────→ (x,y) i=i,j,m,p i=i,j,m,p
为了实现上述结点坐标之间的变换，可利用母元的形函数，得出(ξ,η)和(x,y)之间的坐标变换式。
图形变换具有如下性质:
1. 母元中的坐标线对应于等参元的直线；
2. 四结点正方形母元对应于四个结点可以任意布置的直边四边形等参元； 3. 变换式(2-6-1)能保证相邻等参元的边界位移彼此协调。
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对照2.4中的形函数表达式,便知: