第2讲 大题考法——立体几何的综合问题
考向一 平行、垂直的证明与空间几何体的体积计算问题
【典例】 (2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直1
于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°．
2
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为27，求四棱锥P-ABCD的体积． [审题指导]
1
①看到AB＝BC＝AD，想到取AD的中点
2
②看到四边形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，想到BC∥AD③看到求VP-ABCD，想到体积公式，关键是确定高及底面积[规范解答] (1)证明：在平面ABCD内， 因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD. 又BC?平面PAD，AD?平面PAD， 故BC∥平面PAD.4分
1
(2)解：如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°，
2
1
?
2分 3分
得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD. 6分
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD. 因为CM?底面ABCD，所以PM⊥CM. 设BC＝x，则CM＝x，CD＝2x，
8分 9分
?
PM＝3x，PC＝PD＝2x．
取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD， 所以PN＝
14x. 2
10分
?
114
因为△PCD的面积为27，所以×2x×x＝27，
22解得x＝－2(舍去)或x＝2． 于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝23. 所以四棱锥P-ABCD的体积
11分
V＝×
1
3＋2
×23＝43.
12分
?处在证明线面平行问题时，易忽视线不在面内这一条件从而失分，注意线面平行条件使用的规范化．
?处易忽视通过侧面PAD⊥底面ABCD可转化为线面垂直及线线垂直，从而不能创设垂直关系和利用数量等量关系来确定底面边长及高．
?处易忽视如何表示△PCD的面积，即以CD为底，高如何确定，导致思路不通．
[技法总结] 位置关系的证明与求几何体的体积综合问题的模型
[变式提升]
2
1．(2018·天水二模)在多面体ABCDPQ中，平面PAD⊥平面ABCD.AB∥CD∥PQ，AB⊥AD，△PAD为正三角形，O为AD中点，且AD＝AB＝2，CD＝PQ＝1．
(1)求证：平面POB⊥平面PAC；
证明 由条件可知，
Rt△ADC≌Rt△BAO，故∠DAC＝∠ABO． ∴∠DAC＋∠AOB＝∠ABO＋∠AOB＝90°． ∴AC⊥BO．
∵PA＝PD，且O为AD中点，∴PO⊥AD． 平面PAD⊥平面ABCD． 平面PAD∩平面ABCD＝AD，??
∵?PO⊥AD，??PO?平面PAD∴PO⊥平面ABCD．
又∵AC?平面ABCD，∴AC⊥PO． 又∵BO∩PO＝O，∴AC⊥平面POB． ∵AC?平面PAC， ∴平面POB⊥平面PAC．
(2)求多面体ABCDPQ的体积． 解 取AB中点为E，连接CE，QE． 由(1)可知，PO⊥平面ABCD．
又∵AB?平面ABCD，∴PO⊥AB．
又∵AB⊥AD，PO∩AD＝O，∴AB⊥平面PAD．
131?1?2
∴VABCDPQ＝VPAD-QEC＋VQ-CEB＝S△PAD·|AE|＋S△CEB·|PO|＝×2×1＋?×1×2?×3＝
343?2?
3