奥数:4-2-2三角形等高模型与鸟头模型:题库

三角形等高模型与鸟头模型

例题精讲

板块一 三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式:三角形面积?底?高?2

从这个公式我们可以发现:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积. 如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小); 如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小);

这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是,当三角形的底和高同时发生

1变化时,三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍,底变为原来的,则三角形面积与原来的一

3样.这就是说:一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状.

在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论: ①等底等高的两个三角形面积相等;

②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如左图S1:S2?a:b

ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图S△ACD?S△BCD;

反之,如果S△ACD?S△BCD,则可知直线AB平行于CD.

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;

⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.

【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成:⑴ 3个面积相等的三角形;⑵ 4个面积相等的三角形;⑶

6个面积相等的三角形.

【解析】 ⑴ 如下图,D、E是BC的三等分点,F、G分别是对应线段的中点,答案不唯一:

AAFAGDCBC BDEC BD⑵ 如下图,答案不唯一,以下仅供参考:

⑴⑵⑶⑷⑸⑶如下图,答案不唯一,以下仅供参考:

【例 2】 如图,BD长12厘米,DC长4厘米,B、C和D在同一条直线上.

⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍?

⑵ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍? ABDC

【解析】 因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时,它们的高都是从A

点向BC边上所作的垂线,也就是说三个三角形的高相等. 于是:三角形ABD的面积?12?高?2?6?高 三角形ABC的面积?(12?4)?高?2?8?高 三角形ADC的面积?4?高?2?2?高

4所以,三角形ABC的面积是三角形ABD面积的倍;

3三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍.

【例 3】 如右图,ABFE和CDEF都是矩形,AB的长是4厘米,BC的长是3厘米,那么图中阴影部分的面

积是 平方厘米.

AEDBFC

【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半,即4?3?2?6(平方厘米).

【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示,平行四边形的面积是50平方厘米,则阴影部分的面积

是 平方厘米.

【解析】 根据面积比例模型,可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半,所以阴影部分的面积也

等于平行四边形面积的一半,为50?2?25平方厘米.

【巩固】如下图,长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD,长方形ABCD的长是20,宽是12,则

它内部阴影部分的面积是 .

ABFDEC1【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半,为?20?12?120.

2

【例 4】 如图,长方形ABCD的面积是56平方厘米,点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点,H为AD边上的任意一点,求阴影部分的面积.

AEBHDGAEBHDG

【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用.

连接BH、CH. ∵AE?EB,

∴S△AEH?S△BEH.

同理,S△BFH?S△CFH,SCGH=SDGH,

11∴S阴影?S长方形ABCD??56?28(平方厘米).

22FCFC

【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点,如果正方形的边长是12,那么阴影部

分的面积是 .

ADGEBFCEBFA65431G2CHD

【解析】 把另外三个三等分点标出之后,正方形的3个边就都被分成了相等的三段.把H和这些分点以及正

方形的顶点相连,把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形.这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上,它们的长度都是正方形边长的三分之一.阴影部分被分割成了3个三角形,右边三角形的面积和第1第2个三角形相等:中间三角形的面积和第3第4个三角形相等;左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等.

因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一,因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一.正方形的面积是144,阴影部分的面积就是48.

【例 5】 长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、G为各边中点,H为AD边上任意一点,问阴影部分面积

是多少?

AHDEG

【解析】 解法一:寻找可利用的条件,连接BH、HC,如下图:

FBC

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