1 习题答案
第1章 三、解答题
1．设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A – B) = P(A) 解：(4) (6)正确.
2．设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)，
又因为P(B)?P(A?B)即P(B)?P(A?B)?0. 所以
(1) 当P(B)?P(A?B)时P(AB)取到最大值，最大值是P(AB)?P(A)=0.6.
(2)
P(A?B)?1时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3.
3．已知事件A，B满足P(AB)?P(AB)，记P(A) = p，试求P(B)．
解：因为P(AB)?P(AB)，
即P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)，
所以
P(B)?1?P(A)?1?p.
4．已知P(A) = 0.7，P(A – B) = 0.3，试求P(AB)．
解：因为P(A – B) = 0.3，所以P(A )– P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A )– 0.3, 又因为P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7– 0.3=0.4，P(AB)?1?P(AB)?0.6.
5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有n?C410种，以下求至少有两只配成一双的取法k： 法一：分两种情况考虑：k?C1C2(C122542)+C5 其中：C12125C4(C2)为恰有1双配对的方法数
法二：分两种情况考虑：k?C15?C118?C62!+C25
其中：C1C1?C1865?2!为恰有1双配对的方法数
法三：分两种情况考虑：k?C1?C15(C284)+C25
其中：C125(C8?C14)为恰有1双配对的方法数
1
2
法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k法五：考虑对立事件：k 其中：C544414?C10-C5(C2)
12?C5C8-C52
14(C2)为没有一双配对的方法数
1111C10?C8?C6?C4法六：考虑对立事件：k?C?4!4101111C10?C8?C6?C4 其中：
4!k13. 所求概率为p?4?C1021
为没有一双配对的方法数
6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．
12C3A5C5211 解：(1) 法一：p?3?，法二：p? ?3C101212A10122C3A4C411 (2) 法二：p?3?，法二：p? ?3A2020C1010 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则
213C32?A4A4C4391P(M1)?3?, P(M2)??P(M)??, 34316843164
8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？
解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则
9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．
解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则
112C32C3C2C2P(M2)?2?0.3,P(M1)??0.6,P(M1)?2?0.1 2C5C5C5M?M1?M2且M1?M2??.
22C5C313所以P(M)?P(M1?M2)?P(M1)?P(M2)?2?2?.
C8C828 10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．
解：这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间? = {(x，y)：0 ? x，y ? 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x，y) ? ? ： x + y ? 6/5} 因此
1?4?1????A的面积17． 2?5?P(A)????的面积125图？
2 2
3
11．随机地向半圆0?y?2ax?x2（a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求
原点和该点的连线与x轴的夹角小于
?的概率． 4 解：这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，?表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图.
随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ?={(x，y)：0?x?2a,0?y?2ax?x2}
事件A =“原点和该点的连线与x轴的夹角小于 ={(x，y)：0?因此
?” 4x?2a,0?y?2ax?x2,0????4}
1212a??aA的面积2114P(A)????．
12?的面积?2?a2111?,P(BA)?,P(AB)?，求P(A?B)． 432P(AB)111111???, 解：P(AB)?P(A)P(BA)???,P(B)?P(A|B)12264312 12．已知P(A)
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1111???. 46123 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？
解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。
设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；
22C6C422P(A)?1?P(A)?1?2?，P(B)?2?，
C103C1015P(B|A)?P(AB)P(B)221??/?
P(A)P(A)1535 14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？
解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则
1C232P(A)?1?,P(A)?，由全概率公式得
5C55113C52C423P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)??1??1?,
5C95C945由贝叶斯公式得
1P(A)P(B|A)3C52315P(A|B)???1/?.
P(B)5C94523 3