5.3（2）同角三角比的关系与诱导公式
上海市杨浦高级中学 江海涛
一、教学目标设计
1．掌握诱导公式的推导方法和记忆方法；
2．会运用这些公式求解任意角的三角比的值，会由三角比的值，求特殊角，并会化简单的三角比的关系式；
3．通过公式的探求与应用培养思维的严密性. 三、教学重点及难点 重点：诱导公式
难点：诱导公式的灵活应用 四、教学流程设计
复习公式一引入 根据三角比的定义 运用化归思想由和单位圆公式二、公式三导出公式 三 四 课堂小结， 布置作业 课堂练习 例题分析，运用诱导公式求值、化简及给值求角 设计
一、 复习引入 1．公式一：
sin(2k???)?sin? cos(2k???)?cos?
tan(2k???)?tan?
五、教学过程
cot(2k???)?cot?（其中k??）
用角度可写成：sin(k?360???)?sin?
cos(k?360???)?cos? tan(k?360???)?tan?
cot(k?360??)?cot?（其中k?Z） 2 ．讨论
公式一的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0o―360o之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0o―360o内找出与角?终边相同的角，再把它写成诱导公式一的形式，然后得出结果.
这组公式可以统一概括为f(??2k?)?f(?)(k?Z)的形式，上述一组公式叫做任意角三角比的第一组诱导公式，其特征是：等号两边是同名三角比，且符号都为正.
说明]运用公式时，注意“弧度”与“角度”两种度量制不要混用，如写成sin(80??2k?)?sin80?，
?cos(?3?k?360?)?cos?3是不对的．
y P(x,y) 二、学习新课 1．公式推导
公式二：
? M P’(x，-y) Osin(??）?-sin? cos(??）?cos?
? ? x 它说明角-?与角?的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若角?的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-?的终边与单位圆的交点必为P′(x，-y)（如图1）．由正弦、余弦三角比的定义，即可得
sin?=y， cos?=x, sin(-?)=-y, cos(-?)=x,
所以：sin(-?)= -sin?, cos(-?)= cosα 由三角比的商数关系，得：tan(??)?sin(??)?sin????tan?
cos(??)cos???tan? 即 tan(??）类似可得cot(??)??cot?
这组公式叫任意角三角比的第二组诱导公式 练习：求??3的正弦、余弦、正切和余切的值.
[说明]公式二也可以由特殊到一般，既从特殊三角比的计算，猜测出公式，再证明.
公式三：
用角度可表示如下：
?-sin? sin(???）?-sin? sin(180???）?-cos? cos(180???）?-cos? cos(???）?tan? tan(180???）?tan? tan(???） cot(???)?cot? cot(180??)?sin?
?y P(x,y) M ? ? ? 180 ? M’ x P’(-x，-y)
O 它刻画了角180o+?与角?的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角?终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角?的正弦值（或余弦值）是一对相反数．这是因为若设?的终边与单位圆交于点P( x，y)，则角?终边的反向延长线，即180o+?角的终边与单位圆的交点必为P′(-x，-y)（如图2）．由正弦、余弦三角比的定义，即可得sin?=y， sin(180o+?)=-y,
cos(180o+?)=-x,
cos?=x,
所以 :sin(180o+?)=-sin?，cos(180o+?)=-cos?．
[说明]公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦、余弦比的定义．根据点P的坐标准确地确定点P′的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．直观的对称形象为我们准确写出P′的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性.
练习：求下列三角比的值： （1）cos210；
? (2)sin5? 4分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成180o+?或（π+?），
?为锐角即可．
解：（1）cos210o=cos(180o+30o)=－cos30o=－
3； 2（2）sin公式四：
25???=sin(??)=－sin=－.
2444 把第三组公式中的?换成??，得第四组诱导公式：