2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.
1．若集合M={x|(x+4)(x+1)=0}，N={x|(x-4)(x-1)=0}，则MN=
A．? B．??1,?4? C．?0? D．?1,4? A．3-2i B．3+2i C．2+3i D．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A．y?x?e B．y?x?x11x C．y?2?x D．y?1?x2 x24．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所
取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A．1 B.
11105 C. D. 212121225．平行于直线2x?y?1?0且与圆x?y?5相切的直线的方程是
A．2x?y?5?0或2x?y?5?0 B. 2x?y?5?0或2x?y?5?0 C. 2x?y?5?0或2x?y?5?0 D. 2x?y?5?0或2x?y?5?0
?4x?5y?8?6．若变量x，y满足约束条件?1?x?3则z?3x?2y的最小值为
?0?y?2? A．
3123 B. 6 C. D. 4 55x2y257．已知双曲线C：2?2?1的离心率e=，且其右焦点F2( 5 , 0 )，则双曲线C的方程为
ab4x2y2x2y2x2y2x2y2??1 B. ??1 C. ??1 D. ??1 A．43169916348．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值
A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3
二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9-13题）
49．在(x?1)的展开式中，x的系数为 。
10．在等差数列{an}中，若a3?a4?a5?a6?a7?25，则a2?a8= 。 11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若a =3，sinB=
1π，C=，则b = 。 2613．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写
了 条毕业留言。（用数字做答） （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2?sin(??）? A(22,
π42，点A的极坐标为
7π)，则点A到直线l的距离为 。 415.（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C， BC=1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD= 。
CB
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=（
图1EADPO22?，?），n=（sin x，cos x），x∈（0，）。
222 （1）若m⊥n，求tan x的值 （2）若m与n的夹角为
17．（本小题满分12分）
某工厂36名工人的年龄数据如下表。 工人编号 年龄 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 工人编号 年龄 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 17 38 18 36 ?，求x的值。 3工人编号 年龄 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 工人编号 年龄 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄
数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值x和方差s；
（3）36名工人中年龄在x?s与x?s之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？ 18．（本小题满分14分）
如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，
2BC=3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF=2FB，CG=2GB.
（1）证明：PE?FG；
（2）求二面角P-AD-C的正切值； （3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值. 19．（本小题满分14分）
设a>1，函数f(x)?(1?x)e?a。 (1) 求f(x)的单调区间 ；
(2) 证明：f(x)在（??，+∞）上仅有一个零点；
(3) 若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,证明：m?3a? 20．（本小题满分14分）
已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B. （1）求圆C1的圆心坐标；
（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数k，使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点：若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分）
数列?an?满足a1?2a2?????nan?4? (1) 求a3的值；
2xHDECGA图2FB2?1 en?2 , n?N*. 2n?1