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第八届“启智杯”初中数学思维能力竞赛集训试题（有答案） 第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训（九）
【备注】 一、考察的思维品质 考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。 二、考察的思维能力 1．发散性思维能力：直觉思维――数学直觉和数学灵感；形象思维――数学表象和数学想象。 2．收敛性思维能力：逻辑思维――形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。 3、通过等积分割、相似分割、同类分割、图形的反射、折射、平移、旋转、等积代换等方法，进行分拆与组合，注意抓住特点、变化趋势等，实现问题的解决。
1．从前，有个地主，生前把一整块圆形耕地经营得非常好，临死时，他把四个儿子叫到床前说：“我死后，你们四个平均分这块地，要每块都与其他三块相连，要团结耕地，永保安康！”。你知道怎样分吗？ 【参考答案】 2．如右图，这是用24根火柴摆成的两个正方形，请你只移动其中的4根火柴，使它变成两个完全相同的正方形。（答案画在右侧方框中）
【参考答案】 3. 请把一张正方形纸片,用剪刀分别分割成9个正方形和11个正方形. 请在右图中画出裁剪方式. 【参考答案】
4.将图，剪两刀，然后拼成一个正方形。 【参考答案】
5. 在下面图形中，写有“数”“学”“报”三个字。请你将这个图形剪成形状、大小都相同的三个图形，并且每个图形中各含有“数”“学”“报”这三个字中的一个字。 【参考答案】
6. 下图是正方体的展开图，将它折叠成正方体，可能的图形是A、B、C、D中的（ ）。
【参考答案】C 7.如图所示，长方形ABCD是由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH拼成，已知长方形ABCD的面积为180平方厘米，试确定正方形EFGH的面积等于多少平方厘米？
【参考答案】如图延长BF交DC于N点，延长EH交BC于M点，由已
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知条件可知：CE＝CM＝ CN＝ CB，DA＝DE＝CB＝CN，所以CM＝MB＝CE＝EN＝ND.将长方形ABCD的长边3等分，短边2等分，如图所示，连接对应的等分点，分成网络图形，数一数，长方形ABCD恰好等于12个正方形EFGH的面积，由于长方形ABCD的面积为180平方厘米，所以正方形EFGH的面积等于18平方厘米。 8. 如下图两个正方形的边长分别是 和 ( )，将边长为 的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形．
（1） （2） （3） 【参考答案】拼成大正方形的面积应是 ，设边长 ，则有等式 ，又因为将边长为 的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线 为大正方形边长，如图（1），一定有 ，而 ，则： ，所以 ，由此可以确定 ，然后将 绕中心 旋转 到 位置，即可把正方形切成符合要求的4块。如图（2）与图（3），这种分法同时确保图（3）的中间部分就是边长为 的小正方形．这是因为： （1）中心四边形的角即边长为 的正方形的四个角，∠ ，∠ ，∠ ，∠ ，又因为各边长度相等．因此中心四边形是正方形。 （2）中心正方形的边长 ． 因此，中间部分是边长为 的正方形。 9.如图所示，这个图形是由2014个同样大小的小正方形组成的。小正方形的边长是1厘米。那么整个图形的周长是多少厘米？ 【参考答案】仔细观察图形，除最左边与最右边的两个小正方形各有3条边在外面，其余2012个小正方形都只有2条边在外面，因此整个图形的周长是2012×2＋2×3=4030（厘米）。
10.在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．
【参考答案】用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O和正方形水池的中心A．过O、A画一条直线，这条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)． 11.求 …的值。 【参考答案】猜想结论为2.
12. 一排有50个座位，其中有些座位已经有人，若新来一个人，他无论坐在哪里，都有一个人与他相邻，则原来至少有多少个人？ 【参考答案】2，5，8，11，14，…，50，位置上已经坐了人，后来的人无论他坐在哪，都有一个人与他相邻。共有17人。
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13.把36拆成几个自然数的和，如何拆，所得的乘积最大？ 【参考答案】36=3+3+3+……+3，共分拆成12个3的和，此时，12个3相乘积最大。
14.桌面上放有2013枚正面朝上的硬币，第1次翻动其中的1枚，第2次翻动其中的2枚，第3次翻动其中的3枚……第2013次翻动全部的2013枚硬币。问过2013次翻动后，能否使这2013枚硬币全部正面朝下？ 【参考答案】第1次与2012次合起来共翻动2013枚硬币，可将所有硬币各翻动一次。同理，第2次与2011次、第3次与2010次……第1006次与第1007次都可以将所有硬币各翻动一次。再加上最后一次翻动，每枚硬币都被翻动了（2013＋1）÷2＝1007（次），即每枚硬币都被翻动了奇数次，所以所有硬币正面朝下。 15. 有三个自然数，它们的和是2015，两两相加的和分别是m＋1，m＋2011和m＋2012，那么这三个自然数分别是多少？ 【参考答案】设三全自然数分别为A、B、C，根据题意得：A＋B＋C＝2015，A＋B＝m＋1，A＋C＝m＋2011，B＋C＝m＋2012. 根据后三个式子得：2（A＋B＋C）＝3m＋4024， 2×2015＝3m＋4024，解得：m＝2， 所以，A＋B＝3，A＋C＝2013，B＋C＝2014； 那么，A＝(2013＋3－2014)÷2＝1，B＝2，C＝2012.
16. 计算： … 【参考答案】原式＝（1＋ ）＋（1＋ ）＋（1＋ ）＋…＋（1＋ ）＋（1＋ ）＝1007＋（ － ）× ＝1007
17.李乐和王欢在跳蚤市场上卖掉了各自相同数量的游戏卡，而每张游戏卡的单价和总数量正好相等。后来他们又买回来了一套儿童读物，每本10元，剩余的零钱刚好买了一枝水笔，他们平分了这套儿童读物，结果李乐比王欢多分了一本，而王欢得到了那枝水笔。为了公平，李乐应该补给王欢多少元钱？ 【参考答案】由题意可知，他们卖出的游戏卡所得的钱数是一个完全平方数，而买回来儿童读物的本数为奇数。设每张游戏卡的单价和游戏卡的总数为a，儿童读物的本数为b，水笔的单价为c，则 a×a＝10×b＋c(c＜10＜a），b为奇数。 11×11＝121＝10×12＋1（×）； 12×12＝144＝10×14＋4（×）； 13×13＝169＝10×16＋9（×）； 14×14＝196＝10×19＋6（√）； 15×15＝225＝10×22＋5（×）； 16×16＝256＝10×25＋6（√）； …