第八届“启智杯”初中数学思维能力竞赛集训试题(有答案)

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第八届“启智杯”初中数学思维能力竞赛集训试题(有答案) 第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训(九)

【备注】 一、考察的思维品质 考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。 二、考察的思维能力 1.发散性思维能力:直觉思维――数学直觉和数学灵感;形象思维――数学表象和数学想象。 2.收敛性思维能力:逻辑思维――形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。 3、通过等积分割、相似分割、同类分割、图形的反射、折射、平移、旋转、等积代换等方法,进行分拆与组合,注意抓住特点、变化趋势等,实现问题的解决。

1.从前,有个地主,生前把一整块圆形耕地经营得非常好,临死时,他把四个儿子叫到床前说:“我死后,你们四个平均分这块地,要每块都与其他三块相连,要团结耕地,永保安康!”。你知道怎样分吗? 【参考答案】 2.如右图,这是用24根火柴摆成的两个正方形,请你只移动其中的4根火柴,使它变成两个完全相同的正方形。(答案画在右侧方框中)

【参考答案】 3. 请把一张正方形纸片,用剪刀分别分割成9个正方形和11个正方形. 请在右图中画出裁剪方式. 【参考答案】

4.将图,剪两刀,然后拼成一个正方形。 【参考答案】

5. 在下面图形中,写有“数”“学”“报”三个字。请你将这个图形剪成形状、大小都相同的三个图形,并且每个图形中各含有“数”“学”“报”这三个字中的一个字。 【参考答案】

6. 下图是正方体的展开图,将它折叠成正方体,可能的图形是A、B、C、D中的( )。

【参考答案】C 7.如图所示,长方形ABCD是由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH拼成,已知长方形ABCD的面积为180平方厘米,试确定正方形EFGH的面积等于多少平方厘米?

【参考答案】如图延长BF交DC于N点,延长EH交BC于M点,由已

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知条件可知:CE=CM= CN= CB,DA=DE=CB=CN,所以CM=MB=CE=EN=ND.将长方形ABCD的长边3等分,短边2等分,如图所示,连接对应的等分点,分成网络图形,数一数,长方形ABCD恰好等于12个正方形EFGH的面积,由于长方形ABCD的面积为180平方厘米,所以正方形EFGH的面积等于18平方厘米。 8. 如下图两个正方形的边长分别是 和 ( ),将边长为 的正方形切成四块大小、形状都相同的图形,与另一个正方形拼在一起组成一个正方形.

(1) (2) (3) 【参考答案】拼成大正方形的面积应是 ,设边长 ,则有等式 ,又因为将边长为 的正方形切成四个全等形,那么分割线一定经过正方形中心,假设切割线 为大正方形边长,如图(1),一定有 ,而 ,则: ,所以 ,由此可以确定 ,然后将 绕中心 旋转 到 位置,即可把正方形切成符合要求的4块。如图(2)与图(3),这种分法同时确保图(3)的中间部分就是边长为 的小正方形.这是因为: (1)中心四边形的角即边长为 的正方形的四个角,∠ ,∠ ,∠ ,∠ ,又因为各边长度相等.因此中心四边形是正方形。 (2)中心正方形的边长 . 因此,中间部分是边长为 的正方形。 9.如图所示,这个图形是由2014个同样大小的小正方形组成的。小正方形的边长是1厘米。那么整个图形的周长是多少厘米? 【参考答案】仔细观察图形,除最左边与最右边的两个小正方形各有3条边在外面,其余2012个小正方形都只有2条边在外面,因此整个图形的周长是2012×2+2×3=4030(厘米)。

10.在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图).试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块.

【参考答案】用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O和正方形水池的中心A.过O、A画一条直线,这条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图). 11.求 …的值。 【参考答案】猜想结论为2.

12. 一排有50个座位,其中有些座位已经有人,若新来一个人,他无论坐在哪里,都有一个人与他相邻,则原来至少有多少个人? 【参考答案】2,5,8,11,14,…,50,位置上已经坐了人,后来的人无论他坐在哪,都有一个人与他相邻。共有17人。

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13.把36拆成几个自然数的和,如何拆,所得的乘积最大? 【参考答案】36=3+3+3+……+3,共分拆成12个3的和,此时,12个3相乘积最大。

14.桌面上放有2013枚正面朝上的硬币,第1次翻动其中的1枚,第2次翻动其中的2枚,第3次翻动其中的3枚……第2013次翻动全部的2013枚硬币。问过2013次翻动后,能否使这2013枚硬币全部正面朝下? 【参考答案】第1次与2012次合起来共翻动2013枚硬币,可将所有硬币各翻动一次。同理,第2次与2011次、第3次与2010次……第1006次与第1007次都可以将所有硬币各翻动一次。再加上最后一次翻动,每枚硬币都被翻动了(2013+1)÷2=1007(次),即每枚硬币都被翻动了奇数次,所以所有硬币正面朝下。 15. 有三个自然数,它们的和是2015,两两相加的和分别是m+1,m+2011和m+2012,那么这三个自然数分别是多少? 【参考答案】设三全自然数分别为A、B、C,根据题意得:A+B+C=2015,A+B=m+1,A+C=m+2011,B+C=m+2012. 根据后三个式子得:2(A+B+C)=3m+4024, 2×2015=3m+4024,解得:m=2, 所以,A+B=3,A+C=2013,B+C=2014; 那么,A=(2013+3-2014)÷2=1,B=2,C=2012.

16. 计算: … 【参考答案】原式=(1+ )+(1+ )+(1+ )+…+(1+ )+(1+ )=1007+( - )× =1007

17.李乐和王欢在跳蚤市场上卖掉了各自相同数量的游戏卡,而每张游戏卡的单价和总数量正好相等。后来他们又买回来了一套儿童读物,每本10元,剩余的零钱刚好买了一枝水笔,他们平分了这套儿童读物,结果李乐比王欢多分了一本,而王欢得到了那枝水笔。为了公平,李乐应该补给王欢多少元钱? 【参考答案】由题意可知,他们卖出的游戏卡所得的钱数是一个完全平方数,而买回来儿童读物的本数为奇数。设每张游戏卡的单价和游戏卡的总数为a,儿童读物的本数为b,水笔的单价为c,则 a×a=10×b+c(c<10<a),b为奇数。 11×11=121=10×12+1(×); 12×12=144=10×14+4(×); 13×13=169=10×16+9(×); 14×14=196=10×19+6(√); 15×15=225=10×22+5(×); 16×16=256=10×25+6(√); …

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