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1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)
1x? . (1) limx?0(1?cosx)ln(1?x)3sinx?x2cos(2) 设幂级数
?axnn?0?n的收敛半径为3,则幂级数
?na(x?1)nn?1?n?1的收敛区间为 .
?(3) 对数螺线??e在点(?,?)?(e2,??2)处的切线的直角坐标方程为 .
?12?2???,为三阶非零矩阵,且AB?0,则 = .
3(4) 设A?4tt??B??3?11??(5) 袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一
球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
?xy, (x,y)?(0,0),?22(1) 二元函数f(x,y)??x?y在点(0,0)处 ( )
?0, (x,y)?(0,0)?(A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在
(2) 设在区间[a,b]上f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0,令S1??f(x)dx,S2?f(b)(b?a),
ab1S3?[f(a)?f(b)](b?a),则 ( )
2(A) S1?S2?S3 (B) S2?S1?S3 (C) S3?S1?S2 (D) S2?S3?S1 (3) 设F(x)??x?2?xesintsintdt,则F(x) ( )
(A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数
?a1??b1??c1???????(4) 设?1?a2,?2?b2,?3?c2,则三条直线a1x?b1y?c1?0,a2x?b2y?c2?0,
??????????a3???b3???c3??'.
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a3x?b3y?c3?0(其中ai2?bi2?0,i?1,2,3)交于一点的充要条件是 ( )
(A) ?1,?2,?3线性相关 (B) ?1,?2,?3线性无关
(C) 秩r(?1,?2,?3)?秩r(?1,?2) (D) ?1,?2,?3线性相关,?1,?2线性无关
(5) 设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X?2Y的方差是 ( )
(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)
?y2?2z,(1) 计算I????(x?y)dV,其中?为平面曲线?绕z轴旋转一周形成的曲面与
?x?0?22平面z?8所围成的区域.
?x2?y2?1,(2) 计算曲线积分?从z ?C(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz,其中C是曲线?x?y?z?2,?轴正向往z轴负向看,C的方向是顺时针的.
(3) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为
N,在t?0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为
x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数
之积成正比,比例常数k?0,求x(t).
四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分.)
?x?y?b?0,22(1) 设直线L:?在平面?上,且平面?与曲面z?x?y相切于点
?x?ay?z?3?0(1,?2,5),求a,b之值.
?2z?2z2x(2) 设函数f(u)具有二阶连续导数,而z?f(esiny)满足方程2?2?ez,求
?x?yxf(u).
五、(本题满分6分)
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设f(x)连续,?(x)?在x?0处的连续性.
六、(本题满分8分)
设a1?2,an?1??10f(xt)dt,且limx?0f(x)?A(A为常数),求??(x)并讨论??(x)x11(an?),n?1,2,...,证明： 2an(1) liman存在；
n??(2) 级数
?an??1??收敛. ?an?1?n?1??
七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.)
TTT(1) 设B是秩为2的5?4矩阵,?1?(1,1,2,3),?2?(?1,1,4,?1),?3?(5,?1,?8,9)是
齐次线性方程组Bx?0的解向量,求Bx?0的解空间的一个标准正交基.
?1??2?12?????的一个特征向量.
a3(2) 已知??1是矩阵A?5????????1????1b?2??(Ⅰ) 试确定参数a,b及特征向量?所对应的特征值； (Ⅱ) 问A能否相似于对角阵？说明理由.
八、(本题满分5分)
设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B. (1) 证明B可逆； (2) 求AB.
九、(本题满分7分)
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是
?12.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数5和数学期望.
十、(本题满分5分)
设总体X的概率密度为
?(??1)x?, 0?x?1,f(x)??
?0, 其它，'.