考点跟踪突破17 特殊的平行四边形
一、选择题 1．(2015·潍坊)下列说法中，错误的是( D ) A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形 2．(2010·陕西)若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为( A ) A．16 B．8 C．4 D．1 3．(2015·本溪)如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E，F分别是AD，BC的中点，连接AF与BE，CE与DF分别交于点M，N两点，则四边形EMFN是( A )
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定
,第3题图) ,第4题图)
4．(2015·临沂)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( B )
A．AB＝BE B．BE⊥DC
C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 5．(2015·兰州)如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是( B )
A．43 B．33 C．23 D.3
,第5题图) ,第6题图)
6．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°，且DC ＝ 2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3 ，则S1，S2，S3之间的关系为( C )
A．S2＞S1＋S3 B．S2＜S1＋S3 C．S2＝S1＋S3 D．无法确定
7．如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上．若AB＝1，AD＝2，则S△BCE为( D )
2524
A．1 B. C. D.
535
,第7题图) ,第8题图)
8．(2015·商洛模拟)如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是( D )
2132A. B. C. D. 3222
11点拨：连接BP，过C作CM⊥BD，∵S△BCE＝S△BPE＋S△BPC＝BC×PQ×＋BE×PR×
2211
＝BC×(PQ＋PR)×＝BE×CM×，BC＝BE，∴PQ＋PR＝CM，∵BE＝BC＝1，且正方
22形对角线BD＝2BC＝2，又∵BC＝CD，CM⊥BD，∴M为BD中点，又△BDC为直角122
三角形，∴CM＝BD＝，即PQ＋PR值是
222
二、填空题
9．(2015·黄冈)如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°，则∠AED等于__65__度．
,第9题图) ,第10题图)
10．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为__(2＋2，2)__． 11．(2015·江西)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB＝3，则BC的长为__3__．
12．(2015·丽水)如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E，F在BD上．已6＋2AB知∠BAD＝120°，∠EAF＝30°，则＝____．
AE2,第12题图) ,第13题图)
13．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且AE＝EF＝FA.则下列结论：①△ABE≌ADF，②CE＝CF，③∠AEB＝75°，④BE＋DF＝EF，⑤S△ABE＋S△ADF＝S△CEF，其中成立的是__①②③⑤__．
三、解答题 14．(2010·陕西)如图，A，B，C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，EC.求证：FN＝EC.
解：在正方形ABEF和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC
11
＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝AB，∴BN＝BE，即N为BE的中点，∴EN＝NB
22＝BC，∴△FEN≌△EBC，∴FN＝EC
15．(2015·青岛)已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△ABD≌△CAE；
(2)连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACD，∴∠B＝∠EAC，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∵CE⊥AE，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，在△ABD
?
和△CAE中?∠ADB＝∠CEA，∴△ABD≌△CAE(AAS) (2)AB＝DE，AB∥DE，∵AD⊥
?AB＝AC，
BC，AE∥BC，∴AD⊥AE，又∵CE⊥AE，∴四边形ADCE是矩形，∴AC＝DE，∵AB＝AC，∴AB＝DE，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∵四边形ADCE是矩形，∴AE∥CD，AE＝CD，∴AE∥BD，AE＝BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE且AB＝DE
16．(2015·南阳)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝6，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积；
(3)若EC＝9－m，BF＝m－1(1＜m＜9)，求菱形BCFE面积的最大值．
∠B＝∠EAC，
解：(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，且BC＝2DE，又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE＝FE，∴四边形BCFE是菱形 (2)∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为6，高为33，∴菱形的面积为6×33＝183 (3)设菱形BCFE面积为S，则111S＝EC·BF＝(9－m)(m－1)＝－(m－5)2＋8，∵该抛物线的开口方向向下，且1＜m＜9，
222∴当m＝5时，该抛物线的最大值是8.答：菱形BCFE面积的最大值是8