高考大题标准练(五)
满分75分，实战模拟，60分钟拿下高考客观题满分！ 姓名：________ 班级：
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xxx
1．(2015·福建卷)已知函数f(x)＝103sincos＋10cos2.
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(1)求函数f(x)的最小正周期；
π
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数
6
g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.
①求函数g(x)的解析式；
②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.
xxx
解：因为f(x)＝103sincos＋10cos2
222
＝53sinx＋5cosx＋5
π
x＋?＋5， ＝10sin??6?
所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.
π
(2)①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10sinx＋5的图象，再向下平移a(a
6
＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sinx＋5－a的图象．
已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13. 所以g(x)＝10sinx－8.
②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，
使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx0－8＞0，即4sinx0＞. 543π4由＜知，存在0＜α0＜，使得sinα0＝. 5235
4
由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有sinx＞.
5
因为y＝sinx的最小正周期为2π，
4
所以当x∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sinx＞.
5
π
因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞＞1，
3
所以对任意的正整数k，都存在正整数xk∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)，
4
使得sinxk＞.
5
亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.
2．已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根． (1)求{an}的通项公式；
?an?
(2)求数列?2n?的前n项和．
??
解：(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2，a4＝3. 设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，
13故d＝，从而a1＝. 22
1
所以{an}的通项公式为an＝n＋1.
2
?an?ann＋2
(2)设?2n?的前n项和为Sn，由(1)知n＝n＋1，则
22??
n＋1n＋234
Sn＝2＋3＋…＋n＋n＋1，
2222
n＋1n＋2134
Sn＝3＋4＋…＋n＋1＋n＋2. 22222
1?n＋213?1
＋…＋3＋两式相减得Sn＝＋22n1?－2n＋2 24?
1n＋231
＝＋?1－2n－1?－n＋2. 44??2
n＋4
所以Sn＝2－n＋1.
2
3．(2016·北京卷)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：
(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．
解：(1)由频率分布直方图得： 用水量在[0.5,1)的频率为0.1， 用水量在[1,1.5)的频率为0.15， 用水量在[1.5,2)的频率为0.2， 用水量在[2,2.5)的频率为0.25， 用水量在[2.5,3)的频率为0.15， 用水量在[3,3.5)的频率为0.05， 用水量在[3.5,4)的频率为0.05， 用水量在[4,4.5)的频率为0.05，
∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，
∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米， ∴w至少定为3立方米．
(2)当w＝3时，该市居民的人均水费为：
(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.05×3×4＋0.05×0.5×10＋0.05×3×4＋0.05×1×10＋0.05×3×4＋0.05×1.5×10＝10.5，
∴当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元． 4．(2016·新课标全国卷Ⅰ)如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.
(1)证明：G是AB的中点；
(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．
证明：(1)因为P在平面ABC内的正投影为D， 所以AB⊥PD.
因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE. 因为PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG. 又由已知可得，PA＝PB，所以G是AB的中点．
(2)解：在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．
理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC.又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．
连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)
2
知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝CG.
3
21
由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC.
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由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝22. 在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，
114
所以四面体PDEF的体积V＝××2×2×2＝.
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5．(2016·浙江卷)如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.
(1)求p的值；
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，
p
由抛物线的定义得＝1，即p＝2.
2
(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)，可设A(t2,2t)，t≠0，t≠±1. 因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，
2??y＝4x，由?消去x得y2－4sy－4＝0， ?x＝sy＋1?
12?2，－. 故y1y2＝－4，所以B?t??t
t2－12t
又直线AB的斜率为2，故直线FN的斜率为－，
2tt－1
t2＋3t2－122?，－?从而得直线FN：y＝－(x－1)，直线BN：y＝－，所以N?2. t?2tt?t－1?
22t＋
t2t
设M(m,0)，由A，M，N三点共线得2＝， 2t－m2t＋3
t－2t－1