《创新设计》图书
[学习目标] 1.能用正弦、余弦定理进一步解决一些有关三角形的计算问题.2.掌握三角形面积公式的简单推导和应用．
知识点一 三角形常用面积公式及其证明 1．公式
1(1)三角形面积公式S＝ah.
2(2)三角形面积公式的推广 111
S＝absin C＝bcsin A＝casin B. 222
1
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
22．证明
(1)三角形的高的计算公式
在△ABC中，边BC，CA，AB对应的边长分别为a，b，c，边上的高分别记为ha，hb，hc，则ha＝bsin C＝csin B，hb＝csin A＝asin C，hc＝asin B＝bsin A.
借助上述结论，如图，若已知△ABC中的边AC，AB，角A，那么AB边上的高CD＝bsin_A，1
△ABC的面积S＝bcsin A.
2
(2)三角形的面积与内切圆
1
已知△ABC内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则△ABC的面积为S＝r(a＋b＋c)．
2如图，设△ABC内切圆圆心为O，连接OA，OB，OC，
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1111
则S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＋S△BOC＝cr＋br＋ar＝(a＋b＋c)r.
22223
思考 (1)已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝3，则A＝________.
2(2)在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积等于________． 答案 (1)60°或120° (2)3
2
13
解析 (1)S＝bcsin A＝，
22133
∴·2·3·sin A＝，∴sin A＝， 222又∵A∈(0°，180°)，∴A＝60°或120°. ac(2)由正弦定理＝，
sin Asin Ccsin A2·sin 30°
∴sin C＝＝＝1，
a1又∵C∈(0°，180°)，∴C＝90°， ∴b＝c2－a2＝22－12＝3. 13
∴S△ABC＝×1×3＝. 22知识点二 多边形的面积
对于多边形的有关几何计算问题，可以利用“割补法”将多边形转化为三角形，利用三角形的有关性质及正弦、余弦定理解决．
题型一 三角形的面积公式及其应用
π4
例1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cos A＝，b＝3.
35(1)求sin C的值； (2)求△ABC的面积．
π42π3
解 (1)因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝，cos A＝，所以C＝－A，sin A＝. 35352π3＋4331
－A?＝cos A＋sin A＝于是sin C＝sin?. ?3?2210
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3＋433(2)由(1)知sin A＝，sin C＝， 510π
又因为B＝，b＝3，
3
bsin A6
所以在△ABC中，由正弦定理得a＝＝.
sin B5
3＋4336＋93116
于是△ABC的面积S＝absin C＝××3×＝.
2251050
反思与感悟 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，使之转化为求两边或两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用，另外也要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数值求角时出现增根．
跟踪训练1 如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．
解 连接BD，则四边形ABCD的面积为
S＝S△ABD＋S△CDB
11
＝AB·ADsin A＋BC·CDsin C. 22∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C， 1
∴S＝(AB·AD＋BC·CD)sin A
21
＝(2×4＋6×4)sin A＝16sin A. 2在△ABD中，由余弦定理得 BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A ＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A. 在△CDB中，由余弦定理得
BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcos C＝52－48cos C. ∴20－16cos A＝52－48cos C.