2019-2020年中考数学压轴题专项训练含考点分类汇编

上海市2017年中考数学压轴题专项训练

1.(本题满分12分,第(1)小题满分3分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分5分)

如图,已知抛物线y?x2?bx?c经过A?0,?1?、B?4,?3?两点. (1)求抛物线的解析式; (2 求tan?ABO的值;

(3)过点B作BC?x轴,垂足为点C,点M是抛物线上一点,直线MN平行于y轴交直线AB于点N,如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.

1.解:(1)将A(0,-1)、B(4,-3)分别代入y?x?bx?c

得?2yoAB(第24题图) x?c??1,, ………………………………………………………………(1分)

?16?4b?c??39,c??1…………………………………………………………………(1分) 2

9所以抛物线的解析式为y?x2?x?1……………………………………………(1分)

2

(2)过点B作BC?x轴,垂足为C,过点A作AH?OB,垂足为点H ………(1分)

解,得b??4,……………………………(1分) 5

4322∴AH?OAsin?AOH?,∴OH?,BH?OB?OH?, ………………(1分)

555AH4222???在Rt?ABH中,tan?ABO?………………………………(1分) BH5511

在Rt?AOH中,OA=1,sin?AOH?sin?OBC?1 x?1, ……………………………………………(1分)

291设点M的坐标为(m,m2?m?1),点N坐标为(m,?m?1)

22(3)直线AB的解析式为y??那么MN=(m2?91 m?1)?(?m?1)?m2?4m; …………………………(1分)

22∵M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,∴MN=BC=3

解方程m2?4m=3得m?2?7; ……………………………………………(1分) 解方程?m2?4m?3得m?1或m?3; ………………………………………(1分)

所以符合题意的点N有4个(2?7,7735?2),(2?7,??2),(1,?),(3,?) 2222 ……………………………………………………………………………………(1分)

2.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)

在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,经过点B的直线l(l不与直线AB重合)与直线BC的夹角等于∠ABC,分别过点C、点A作直线l的垂线,垂足分别为点D、点E.

(1)如图1,当点E与点B重合时,若AE=4,判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直

线AB的位置关系并说明理由;

(2)如图2,当点E在DB延长线上时,求证:AE=2CD;

A AB相交于点F,若CF?5,CD = 4,求BD的长. (3)记直线CE与直线EF6

l D B(E) l 2019-2020年中考数学压轴题专项训练含考点分类汇编 D B E

(第25题图1)

(第25题图2)

C

C

A

2.解:(1)过点C作CF⊥AB,垂足为点F. ……………………………………………(1分) ∵∠AED=90°,∠ABC=∠CBD,∴∠ABC=∠CBD =45°,

∵∠ACB=90°,∠ABC=45°,AE=4,∴CF=2,BC=22,…………………………(1分) 又∵∠CBD=∠ABC=45°,CD⊥l,∴CD=2, …………………………………………(1分) ∴CD=CF=2,∴圆C与直线AB相切.……………………………………………………(1分) (2)证明:延长AC交直线l于点G. ………………………………………………(1分) ∵∠ACB = 90°,∠ABC =∠GBC,∴∠BAC =∠BGC.

∴AB = GB.…………………………………………………………………………………(1分) ∴AC = GC.…………………………………………………………………………………(1分)

∵AE⊥l,CD⊥l,∴AE∥CD.

CDGC1??. …………………………………………………………………………(1分) AEGA2∴AE = 2CD. ………………………………………………………………………………(1分)

∵∠ACB = 90°,∴∠ABC +∠BAC =∠HCB +∠HCA = 90°. ∴∠BAC =∠HCA.∴CH = AH = BH.

CHCF5??. BEEF6设CH = 5x,则BE = 6x,AB = 10x.

∵CG∥l,∴在Rt△ABE中,AE?F

AB2?BE2?8x.

由(2)知AE = 2CD = 8,∴8x?8,得x?1. ∴CH = 5,BE = 6,AB = 10. ∵CG∥l,∴

HGAH1??,∴HG=3.……………………(1分) BEAB2A G

∴CG = CH + HG = 8.

易证四边形CDEG是矩形,∴DE = CG = 8.

∴BD?DE?BE?2.…………………………………………(1分) (II)如图2,当点E在DB上时:

同理可得CH = 5,BE = 6,HG = 3.…………………………(1分) ∴DE?CG?CH?HG?2.

∴BD=DE + BE = 8.…………………………………………………………………………(1分) 综上所述,BD的长为2或8.

3.已知点A(2,﹣2)和点B(﹣4,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上. (1)求a的值及点B的坐标;

(2)点P在y轴上,且△ABP是以AB为直角边的三角形,求点P的坐标;

(3)将抛物线y=ax2(a≠0)向右并向下平移,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形ABB′A′为正方形,求此时抛物线的表达式.

D E

B

l

C

H

(第25题图2)

【考点】二次函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化-平移. 【分析】(1)把点A(2,﹣2)代入y=ax2,得到a,再把点B代入抛物线解析式即可解决问题.

(2)求出直线AB解析式,再分别求出过点A垂直于AB的直线的解析式,过点B垂直于直线AB的解析式即可解决问题.

(3)先求出点A′坐标,确定是如何平移的,再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题. 【解答】解:(1)把点A(2,﹣2)代入y=ax2,得到a=﹣, ∴抛物线为y=﹣x2, ∴x=﹣4时,y=﹣8, ∴点B坐标(﹣4,﹣8),

∴a=﹣,点B坐标(﹣4,﹣8). (2)设直线AB为y=kx+b,则有

,解得

∴直线AB为y=x﹣4,

∴过点B垂直AB的直线为y=﹣x﹣12,与y轴交于点P(0,﹣12), 过点A垂直AB的直线为y=﹣x,与y轴交于点P′(0,0),

∴点P在y轴上,且△ABP是以AB为直角边的三角形时.点P坐标为(0,0),或(0,﹣12).

(3)如图四边形ABB′A′是正方形,过点A作y轴的垂线,过点B、点A′作x轴的垂线得到点E、F.

∵直线AB解析式为y=﹣x﹣12,∴△ABF,△AA′E都是等腰直角三角形, ∵AB=AA′=

=6

∴AE=A′E=6,

∴点A′坐标为(8,﹣8),

∴点A到点A′是向右平移6个单位,向下平移6个单位得到, ∴抛物线y=﹣x2的顶点(0,0),向右平移6个单位,向下平移6个单位得到(6,﹣6), ∴此时抛物线为y=﹣(x﹣6)2﹣6.

4.已知,AB=5,tan∠ABM=,点C、D、E为动点,其中点C、D在射线BM上(点C在

点D的左侧),点E和点D分别在射线BA的两侧,且AC=AD,AB=AE,∠CAD=∠BAE.

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