（1）当点C与点B重合时（如图1），联结ED，求ED的长； （2）当EA∥BM时（如图2），求四边形AEBD的面积；
（3）联结CE，当△ACE是等腰三角形时，求点B、C间的距离．
【考点】三角形综合题． 【分析】（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H，先证明BF⊥DE，EF=DF，再利用△ABH∽△DBF，得
=
，求出DF即可解决问题．
（2）先证明四边形ADBE是平行四边形，根据S平行四边形ADBE=BD?AH，计算即可．
（3）由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC，利用四点共圆先证明四边形ADBE是平行四边形，求出DH、CH即可解决问题． 【解答】解：（1）如图1中，延长BA交DE于F，作AH⊥BD于H．
在RT△ABH中，∵∠AHB=90°， ∴sin∠ABH=∴AH=3，BH=
∵AB=AD，AH⊥BD， ∴BH=DH=4，
在△ABE 和△ABD中，
=，
=4，
，
∴△ABD≌△ABE，
∴BE=BD，∠ABE=∠ABD， ∴BF⊥DE，EF=DF，
∵∠ABH=∠DBF，∠AHB=∠BFD， ∴△ABH∽△DBF， ∴
=
， ，
．
∴DF=
∴DE=2DF=
（2）如图2中，作AH⊥BD于H．
∵AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE， ∴∠AEB=∠ABE=∠ACD=∠ADC， ∵AE∥BD，
∴∠AEB+∠EBD=180°， ∴∠EBD+∠ADC=180°， ∴EB∥AD， ∵AE∥BD，
∴四边形ADBE是平行四边形， ∴BD=AE=AB=5，AH=3， ∴S平行四边形ADBE=BD?AH=15．
（3）由题意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC． 如图3中，
∵∠ACD=∠AEB（已证）， ∴A、C、B、E四点共圆，
∵AE=EC=AB， ∴=， ∴=，
∴∠AEC=∠ABC， ∴AE∥BD，
由（2）可知四边形ADBE是平行四边形， ∴AE=BD=AB=5， ∵AH=3，BH=4， ∴DH=BD﹣BH=1， ∵AC=AD，AH⊥CD， ∴CH=HD=1，
∴BC=BD﹣CD=3．
5．如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象顶点为C，与直线y=x+m图象交于AB两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上． （1）求这个二次函数的解析式； （2）联结AC，求∠BAC的正切值；
（3）点P为直线AB上一点，若△ACP为直角三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）先把A点坐标代入y=x+m求出m得到直线AB的解析式为y=x+1，这可求出直线与y轴的交点B的坐标，然后把A点和B点坐标代入y=x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，再解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）如图，先抛物线解析式配成顶点式得到C（1，0），再利用两点间的距离公式计算出BC2=2，AB2=18，AC2=20，然后利用勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，于是利用正切的定义计算tan∠BAC的值；
（3）分类讨论：当∠APC=90°时，有（2）得点P在B点处，此时P点坐标为（0，1）；当∠ACP=90°时，利用（2）中结论得tan∠PAC=
=，则PC=AC，设P（t，t+1），然
后利用两点间的距离公式得到方程t2+（t+1﹣1）2=20，再解方程求出t即可得到时P点坐标．
【解答】解：（1）把A（3，4）代入y=x+m得3+m=4，解得m=1 ∴直线AB的解析式为y=x+1， ∵当x=0时，y=x+1=1， ∴B（0，1），
把B（0，1），A（3，4）代入y=x2+bx+c得∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+1； （2）如图，
∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2， ∴C（1，0），
∴BC2=12+12=2，AB2=32+（4﹣1）2=18，AC2=（3﹣1）2+42=20， 而2+18=20， ∴BC2+AB2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， ∴tan∠BAC=
=
=；
，解得
，
（3）当∠APC=90°时，点P在B点处，此时P点坐标为（0，1）； 当∠ACP=90°时，∵tan∠PAC=∴PC=AC， 设P（t，t+1），
∴t2+（t+1﹣1）2=20，解得t1=﹣﹣
+1），
，﹣
+1）．
，t2=
（舍去），此时P点坐标为（﹣
，
=，
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，1）或（﹣