高中数学竞赛中数论问题的常用方法
数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法.
1.基本原理
为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下:
我们用(a1,a2,...,an)表示整数a1,a2,…,an的最大公约数.用[a1,a2,…,an]表示a1,a2,…,an的 最小公倍数.对于实数x,用[x]表示不超过x的最大整数,用{x}=x-[x]表示x的小数部分.对于整数
m).对于正整数m,用?(m)表示a,b,若m|(a?b),m?1,则称a,b关于模m同余,记为a?b(mod{1,2,…,m}中与m互质的整数的个数,并称?(m)为欧拉函数.对于正整数m,若整数r1,r2,...,rm中任何两个数对模m均不同余,则称{r1,r2,...,rm}为模m的一个完全剩余系；若整数r1,r2,...,r?(m)中每一个数都与m互质,且其中任何两个数关于模m不同余,则称{r1,r2,...,r?(m)}为模m的简化剩余系.
定理1 设a,b的最大公约数为d,则存在整数x,y,使得d?xa?yb.
定理2(1)若ai?bi(modm),i?1,2,…,n,x1?x2(modm),则
(2)若a?b(modm),d?(a,b),d|m,则
?ax??bxii1inni2；
i?1i?1abm?(mod)； dddab(3)若a?b,d?(a,b),且(d,m)?1,则?(modm)；
dd(4)若a?b(modmi),i?1,2,...,n,M=[m1,m2,...,mn],则a?b(modM). 定理3(1)x?1?[x]?x?[x]?1； (2)[x?y]?[x]?[y]；
(3)设p为素数,则在n!质因数分解中,p的指数为
?p
k?1
n
k
.
定理4 (1)若{r1,r2,...,rm}是模m的完全剩余系,(a,m)?1,则{ar1?b,ar2?b,...,arm?b}也是模
m的完全剩余系；
(2)若{r1,r2,...,r?(m)}是模m的简化剩余系,(a,m)?1,则{ar1,ar2...,ar?(m)}是模m的简化剩余系. 定理5(1)若(m,n)?1,则?(mn)??(m)?(n).
?1?2(2)若n的标准分解式为n?p1?k为正整数,p1,p2,...pk为互不相p2...pkk,其中?1,?2,...?第 1 页 共 6 页
同的素数,则?(n)?n(1?111)(1?)...(1?). p1p2pk对于以上结论的证明,有兴趣的读者可查阅初等数论教材.
2 方法解读
对于数论试题,除直接运用数论的基本原理外,常用的基本方法还有因式(因数)分解法,配对法,分组法,估值法,同余方法,构造法,调整法,数学归纳法与反证法.下面分别予以说明
2.1基本原理的应用
例1 设正整数a,b,c的最大公约数为1,并且
ab?c (1),证明:(a?b)是一个完全平方数. a?b证:设(a,b)?d,a?a1d,b?b1d,其中(a1,b1)?1.由于(a,b,c)?1,故有(d,c)?1.由(1)得
a1b1d?a1c?b1c (2)
由(2)知,a1|b1c,又(a1,b1)?1,∴ a1|c.同理可证b1|c,从而有a1b1|c,设c?a1b1k,k为正整数,代入(2)得d?k(a1?b1) (3)
由(3)知k|d,又k|c,?k|(d,c)?1,?k?1. ∴d?a1?b1.∴a?b?d(a1?b1)?d2.故成立. 例2 设n为大于1的奇数