基于Hopfield神经网络的数字识别
原理简介：
Hopfield网络是有反馈的全互联型网络，其形式如图2所示，N为神经元的数目，V表示神经元的输入向量，U表示输出向量，W为神经元之间的权值。离散Hopfield网络中每个神经元的输出只能取“1”或“-1”两种状态，各神经元的状态可用向量V表示：V={v1，v2 ，…vn}。网络中各神经元彼此互相连接，即每个神经元将自己的输出通过连接权传给其它神经元，同时每个神经元接受其它神经元传来的信息。
图2 有反馈的全互联型网络
Hopfield网络的稳定性是由能量函数来描述的，即对网络的每个状态发生变化时，能量函数E随网络状态变化而严格单调递减，这样Hopfield模型的稳定与能量函数E在状态空间的局部极小点将一一对应。
设有N个神经元构成的Hopfield网络，其中第i个和第j个神经元节点状态分别记为vi和vj；w是神经元i和j的连接权，?为神经元i的阈值。节点的能量可表示为：
Ei=-(
?wvj?inniji??i)v
则整个Hopfield网络整体能量函数定义为：
1nE=-?2i?1?wvv???v
ijijiij?ii?1n设有N个神经元构成的Hopfield神经网络，第i个神经元在t时刻所接收的来自其它N-1个神经元输入信号的总和记为ui（t），t+1时刻第i个神经元的输出值vi（t+1）是符号函数作用于ui（t）的某个阈值 时，该神经元将触发成兴奋状态。据此可知Hopfield网络的运行规则为：
（1） 在网络中随机地选择一个神经元； （2） 求所选神经元i（1?i?N）的输入总和
ui(t)=
?wvj?iniji??i；
（3） 根据ui(t)的值大小，更新神经元的状态
if （ui(t)）?0
then vi（t+1）=1
else vi（t+1）=0；
（4） 神经元i以外的神经元j的状态不变化； （5） 转向（1），直到网络达到稳定。
Hopfield网络作为记忆的学习时，稳定状态是给定的，通过网络的学习求适合的权矩阵W（对称阵），学习完成后以计算的方式进行联想。对给定的M个模式，Hopfield网络可按Hebb规则来进行学习。
?0,i?j? Wij??Mv(k)v(k),i?jj??i?k?1按上述规则求出权矩阵后，可认为网络已经将这M个模式存入到网络的连接权中。
问题描述：
设计一个Hopfield网络，使其具有联想记忆功能，能正确识别阿拉伯数字，当数字被噪声污染后仍可以正确地识别。
程序流程：
先设计好标准的数字点阵（本文采用10*10矩阵表示），根据这些标准的数字点阵创建并训练网络，使网络达到稳定状态，用带噪声的数字测试训练的网络。噪声有两种形式：一种是固定噪声；另一种是随机噪声，本文对两种噪声都做讨论。
设计数字点阵 （0-9） 创建Hopfield网络 产生带噪声的 数字点阵 数字识别测试 结果分析
程序：
%数字0-9的标准点阵 zero=load('zero.txt'); one=load('one.txt'); two=load('two.txt'); three=load('three.txt'); four=load('four.txt'); five=load('five.txt'); six=load('six.txt');
seven=load('seven.txt'); eight=load('eight.txt'); nine=load('nine.txt');
%训练样本（目标向量）
T=[zero(:),one(:),two(:),three(:),four(:),five(:),six(:),seven(:),eight(:),nine(:)]; %输出数字0-9 figure for ii=0:9,
subplot(2,5,ii+1);
imshow(reshape(T(:,ii+1),10,10)); title([' 当前数字：' num2str(ii)]) end
%数字带噪声数字点阵（固定法） noise_matrix=load('noise_matrix.txt'); %数字带噪声数字点阵（随机法） %noise_matrix=zero; %for i=1:100 % a=rand; % if a<0.1
% noise_matrix(i)=-zero(i); %end %end figure
subplot(2,3,1)
imshow(noise_matrix); title('带噪声的样本');
%关于hopfield网络的创建和仿真，参数形式参见Matlab的帮助 net=newhop(T);%创建hopfield网络，根据标准样本开始训练学习
No22=sim(net,{1,5},{},{noise_matrix(:)});%仿真5次，只有一个样本noise_matrix for ii=1:5
subplot(2,3,1+ii)
imshow(reshape(No22{ii},10,10));