2019-2020年人教版高中数学选修1-2教案：2-2-1综合法和分析法
备课教师 阮东良 、 周多龙 、徐江波 项目 课题 教学内容 2.1.2演绎推理 1、 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法： 修改与创新 目标 2、 分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重、 难点 教学直尺、粉笔 准备 一、复习准备： 1. 已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，则论推广猜想. （答案：若a1,a2.......an?R?，且a1?a2?....?an?1，则重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 11，试请此结??4”a1a2111??....?? n2） a1a2an2. 已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求证：教学过程 1. 教学例题： ① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b + c) + 22111???9. abc 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc. 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点 ② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示：由因导果. 要点：顺推证法；③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证b?c?aa?c?ba?b?c???3. abc④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形. 分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点. → 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和） 2. 练习： ① A,B为锐角，且tanA?tanB?3tanAtanB?3，求证：A?B?60. （提示：算tan(A?B)） ② 已知a?b?c, 求证：114??. a?bb?ca?c3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,???，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 1. 提问：基本不等式的形式？ 2. 讨论：如何证明基本不等式a?b?ab(a?0,b?0). 2 （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件） 二、讲授新课： 1. 教学例题： ① 出示例1：求证3?5?2?6. 讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ →板演证明过程 （注意格式） → 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法 ② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：(x?y)?(x?y). 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明. ④ 出示例4：见教材P48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例5：见教材P49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求） 2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大. 21223133 要点：逆推证l，截面积2?lll为?()2，周长为l的正方形边长为，截面积为()2，问题2?44ll只需证：?()2> ()2. 2?4提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为3. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立； 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）