第一章 薛定谔方程
§1.1.波函数及其物理意义
1. 波函数： 用波函数描述微观客体的运动状态。 例：一维自由粒子的波函数 推广 ：三维自由粒子波函数 2. 波函数的强度——模的平方 3. 波函数的统计解释
用光栅衍射与电子衍射对比的方式理解波函数的统计解释。
t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比。
|?(x,y,z,t)|2t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的概率。 t 时刻，粒子在空间分布的概率密度 4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件
粒子在整个空间出现的概率为1
dNN2dN?|?|dV???dV???1?NdVNNVV?是单值、有限、连续的.标准条件：一般情况下，
有关特殊情况波函数所满足的条件参看曾谨言教程。
对微观客体的数学描述： 脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾
§1.2. 薛定谔方程
是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。 1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般） 一维自由粒子的振幅方程
d2?(x)2mE?2?(x)?02dx?非相对论考虑
2. 一维定态薛定谔方程
d2?(x)2m?2(E?U)?(x)?02dx?3. 三维定态薛定谔方程 4. 一般形式薛定谔方程
2m22?U)?(x,y,z)?0??(x,y,z)?(E2???i??(x,y,z,t)?[??2?U]?(x,y,z,t)?t2m
5. 多粒子体系的薛定谔方程
?2?i2?????????i??(r1,r2,?,t)??[??(r1,r2,?,t)]?V(r1,r2,?,t)?(r1,r2,?,t)?t2mii讨论：
1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。 2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。
3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。 4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。 5、薛定谔方程是非相对论的方程。
量子力学的中心任务就是求解薛定谔方程。 求解问题的思路：
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程 2. 用分离变量法求解
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数 4. 讨论解的物理意义，
薛定谔的另一伟大科学贡献
《What is life？》 薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖
定态薛定谔方程
一．定态薛定谔方程条件：V（r,t）=V(r)， 与t无关。用分离变量法, 令Ψ=φ(r)f(t)，代入薛定谔方程，得两个方程：
?2?2??????(r)?V(r)?(r)?E?(r)2mi?f(t)?Et?i??Ef(t)f(t)?ce?t
此称定态薛定谔方程 整个定态波函数形式：
???Et???(r)ei特点：
A. 波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘； B．时间部分函数是确定的。
定态波函数几率密度W与t无关，几率分布不随时间而变，因此称为定态。重点要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。 二、本征方程、本征函数与本征值
算符 本征方程：λ：本征值，有多个，甚至无穷多个。ψλ：本征值为λ的本征函数。也有多个，甚至无穷多个，有时一个本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。若一个本征值对应的不同本征函数数目为N，则称N重简并。 三、 定态情况下的薛定谔方程一般解
说明：1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程，E就称为体系的能量本征值（energy eigenvalue），而相应的解 称为能量的本征函数（energy eigenfunction）。
2、是体系的哈密顿量算符，当不显含t时，体系的能量是收恒量，可用分离变量。
3、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿量算符。
§1.3 一维无限深势阱
一、一维势阱实例
如：金属中的自由电子。
金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内部势能为常数，认定为零；2）表面有一个势阶。总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱形式。 二、微分方程
三、一维无限深势阱求解 四、宇称
§1.4 一维线性谐振子
什么叫谐振子？弹簧振动、单摆就是谐振子，它们的位移或角位移满足方程： 谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。比如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振动。双原子分子的振动可化为谐振子。
这节介绍求解线性谐振子（一维）的定态薛定谔方程，解出波函数与能量，并作些讨论.
三．谐振子的几率分布
结论：1. 在经典振幅之外，仍有粒子出现，这也是量子效应。2．从前几个波函数曲线看，量子与经典没有什么相似，但当n很大时，量子的平均结果与经典曲线相似。
4. 熟记有关结论。 四、S维各项同性谐振子 五、位移谐振子