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八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径,三棱锥与长方体的外接球相同）
PPPPO2cAaBbCcCAbaBAbaBcCcBaAbC图1
图2
222图32
图4
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)?a?b?c，即2R?a2?b2?c2，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A．16? B．20? C．24? D．32? （2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥S?ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM?MN,若侧棱SA?23,则正三棱锥S?ABC外接球的表面积是 。 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直，证明如下：
如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连
S?SH?平面ABC，?SH?AB，接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，?AC?BC，AD?BD，?CD?AB，?AB?平面SCD，?AB?SC，
同理：BC?SA，AC?SB，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， ?AM?MN，SB//MN，
ADB(3)题-1HEC?AM?SB，?AC?SB，?SB?平面SAC， ?SB?SA，SB?SC，?SB?SA，BC?SA，
?SA?平面SBC，?SA?SC，故三棱锥S?ABC的三棱条侧棱两两互垂直，
(2R)2?(23)2?(23)2?(23)2?36，即4R2?36，?外接球的表面积是36?
BAN(3)题-2CSM
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（4）在四面体S?ABC中，SA?平面ABC，?BAC?120,SA?AC?2,AB?1,则该四面体的外接
球的表面积为（ ）
A.11? B.7? C.?1040? D.? 33（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是
（6）已知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，
则该几何体外接球的体积为
类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，PA?平面ABC 解题步骤：
第一步：将?ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 P径AD，连接PD，则PD必过球心O；
O第二步：O1为?ABC的外心，所以OO1?平面ABC，算出小圆O1的半
AO1BCD径O1D?r（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得
abc1???2r），OO1?PA； sinAsinBsinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)?PA?(2r)?2R?22②R?r?OO1?R?2图5222PA2?(2r)2；
r2?OO1
2
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2．题设：如图6，7，8，P的射影是?ABC的外心?三棱锥P?ABC的三条侧棱相等? 三棱锥P?ABC的底面?ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点
PPPPOCAO1BDACOOCCOO1BAO1BABO1图6
图7-1
P图7-2P
图8
PAO2BODCBAO2OCAO2BOD图8-1
图8-2
图8-3
解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取?ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线； 第二步：先算出小圆O1的半径AO1?r，再算出棱锥的高PO1?h（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：OA?O1A?O1O?R?(h?R)?r，解出R. 方法二：小圆直径参与构造大圆。
例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 A．3? B．2? C．
22222216? D．以上都不对 3
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
PPPPOOOABCABO1CABO1CABO1C图9-1
图9-2
图9-3
图9-4
1．题设：如图9-1，平面PAC?平面ABC，且AB?BC（即AC为小圆的直径）
第一步：易知球心O必是?PAC的外心，即?PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC?2r； 第二步：在?PAC中，可根据正弦定理
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abc???2R，求出R。 sinAsinBsinC