八个有趣模型——搞定空间几何体地外接球与内切球(学生版)

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八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

类型一、墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径,三棱锥与长方体的外接球相同)

PPPPO2cAaBbCcCAbaBAbaBcCcBaAbC图1

图2

222图32

图4

方法:找三条两两垂直的线段,直接用公式(2R)?a?b?c,即2R?a2?b2?c2,求出R 例1 (1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是( ) A.16? B.20? C.24? D.32? (2)若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是 (3)在正三棱锥S?ABC中,M、N分别是棱SC、BC的中点,且AM?MN,若侧棱SA?23,则正三棱锥S?ABC外接球的表面积是 。 解:引理:正三棱锥的对棱互垂直,证明如下:

如图(3)-1,取AB,BC的中点D,E,连接AE,CD,AE,CD交于H,连

S?SH?平面ABC,?SH?AB,接SH,则H是底面正三角形ABC的中心,?AC?BC,AD?BD,?CD?AB,?AB?平面SCD,?AB?SC,

同理:BC?SA,AC?SB,即正三棱锥的对棱互垂直, 本题图如图(3)-2, ?AM?MN,SB//MN,

ADB(3)题-1HEC?AM?SB,?AC?SB,?SB?平面SAC, ?SB?SA,SB?SC,?SB?SA,BC?SA,

?SA?平面SBC,?SA?SC,故三棱锥S?ABC的三棱条侧棱两两互垂直,

(2R)2?(23)2?(23)2?(23)2?36,即4R2?36,?外接球的表面积是36?

BAN(3)题-2CSM

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(4)在四面体S?ABC中,SA?平面ABC,?BAC?120,SA?AC?2,AB?1,则该四面体的外接

球的表面积为( )

A.11? B.7? C.?1040? D.? 33(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是

(6)已知某几何体的三视图如图上右所示,三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,

则该几何体外接球的体积为

类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面) 1.题设:如图5,PA?平面ABC 解题步骤:

第一步:将?ABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直 P径AD,连接PD,则PD必过球心O;

O第二步:O1为?ABC的外心,所以OO1?平面ABC,算出小圆O1的半

AO1BCD径O1D?r(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理,得

abc1???2r),OO1?PA; sinAsinBsinC2第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①(2R)?PA?(2r)?2R?22②R?r?OO1?R?2图5222PA2?(2r)2;

r2?OO1

2

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2.题设:如图6,7,8,P的射影是?ABC的外心?三棱锥P?ABC的三条侧棱相等? 三棱锥P?ABC的底面?ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点

PPPPOCAO1BDACOOCCOO1BAO1BABO1图6

图7-1

P图7-2P

图8

PAO2BODCBAO2OCAO2BOD图8-1

图8-2

图8-3

解题步骤:第一步:确定球心O的位置,取?ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线; 第二步:先算出小圆O1的半径AO1?r,再算出棱锥的高PO1?h(也是圆锥的高); 第三步:勾股定理:OA?O1A?O1O?R?(h?R)?r,解出R. 方法二:小圆直径参与构造大圆。

例2 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为 A.3? B.2? C.

22222216? D.以上都不对 3

类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)

PPPPOOOABCABO1CABO1CABO1C图9-1

图9-2

图9-3

图9-4

1.题设:如图9-1,平面PAC?平面ABC,且AB?BC(即AC为小圆的直径)

第一步:易知球心O必是?PAC的外心,即?PAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径AC?2r; 第二步:在?PAC中,可根据正弦定理

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abc???2R,求出R。 sinAsinBsinC

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