§1.3 全称量词与存在量词
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“?”表示．
(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“?”表示．
2．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定
命题名称 全称命题 语言表示 对M中任意一个x，有p(x)成立 符号表示 ?x∈M，p(x) 命题的否定 ?x∈M，綈p(x) 存在性命题
存在M中的一个x，使p(x)成立 ?x∈M，p(x) ?x∈M，綈p(x) 概念方法微思考
1．怎样判断一个存在性命题是真命题？
提示 要判定存在性命题“?x∈M，P(x)”，只需在集合M找到一个x，使P(x)成立即可． 2．命题p和綈p可否同时为真，思考一下此结论在解题中的作用？
提示 命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题．( × ) (2)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．( × ) (3)写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词．( √ ) 题组二 教材改编
2．命题“?x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是________． 答案 ?x∈R，x2＋x＋1≤0
3．命题“?x∈N，x2≤0”的否定是________． 答案 ?x∈N，x2>0
a
4．命题“对于函数f (x)＝x2＋(a∈R)，存在a∈R，使得f (x)是偶函数”为________命题．(填
x“真”或“假”) 答案 真
解析 当a＝0时，f (x)＝x2(x≠0)为偶函数． 题组三 易错自纠
5．(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有( ) 1
A．?x∈R，x2－x＋<0
4B．所有的正方形都是矩形 C．?x∈R，x2＋2x＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0 答案 AC
1
解析 由条件可知：原命题为存在性命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋
41
x－?2≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为存在性命题且为假命题，故选AC. ＝??2?6．下列命题中的假命题是________．(填序号) ①?x∈R，lg x＝1； ②?x∈R，sin x＝0； ③?x∈R，x3>0； ④?x∈R,2x>0. 答案 ③
解析 当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题； 当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题； 当x<0时，x3<0，则③为假命题；
由指数函数的性质知，?x∈R,2x>0，则④为真命题．
7．若命题“?t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 答案 (－∞，－1]
解析 命题“?t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，等价于?t∈R，t2－2t－a≥0是真命题， ∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1. ∴实数a的取值范围是(－∞，－1]．
全称命题、存在性命题的真假
例1 (1)以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( ) A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 1
D．存在一个负数x，使>2 x答案 B
解析 A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C是假命题；11
D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
xx(2)下列四个命题：
?1??1???
log1x>log1x②?x∈(0,1)，
23xx；
1?x
③?x∈(0，＋∞)，??2?>11
0，?，??x<④?x∈??3??2?log1x2；
log1x3.
其中真命题的序号为________． 答案 ②④
1?x?1?x
解析 对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有??2?>?3?成立，故①是假命题；