习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： X Y 0 0 181 11311C3???? 22282 3 1 3 110 21C3????3/8 222 0 0 12?12?12?18
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： X Y 0 0 1 0 2 C3?C2C74223 33510 ? C3?C2C73431?235235 1 0 C3?C2?C2C74112?635635 C3?C2?C2C7C3?C2C4722421?1235 C3?C2C741? 2 P(0黑,2红,2白)= C?C/C?222247135C3?C2?C2C47121 ? ?3350
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
??sinxsiny,F（x，y）=???0,0?x?π2,0?y?π2
其他.求二维随机变量（X，Y）在长方形域?0?x???πππ?,?y??内的概率. 463?【解】如图P{0?X?πππ,?Y?}公式(3.2) 463ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,) 434636
1
?sinπππ4?sin3?sin4?sinπ6?sin0?sinπ3?sin0?sinπ6
?24(3?1).
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度
?Ae?(3x?4y)f（x，y）=?,x?0,y?0,?0,其他.
求：（1） 常数A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；
（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.
【解】（1） 由??????f(x,y)dxdy???????????00Ae-(3x?4y)dxdy?A12?1
得 A=12
（2） 由定义，有
F(x,y)??yx?????fu(v,u)dv d?yy12e?(3u?v4 ????0?0d)udv??(1?e?3x)(1?e?4y?)y?0,x?0,??0,?0,其他(3) P{0?X?1,0?Y?2}
?P{0?X?1,0?Y?2}
??12?4y)0?012e?(3xdxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,?0,其他.
（1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}；
（3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有
2
??????????f(x,y)dxdy???0242k(6?x?y)dydx?8k?1,
故 R?18
（2） P{X?1,Y?3}? ?(3) P{X?1.5}? ?????132013??f(x,y)dydx
38??18k(6?x?y)dydx?
??x?1.5f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy
D11.5?0dx?4128(6?x?y)dy?2732D2.
(4) P{X?Y?4}? ???X?Y?4f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy
4?x2?20dx?18(6?x?y)dy?23.
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
?5e?5y,y?0,fY（y）=?
其他.?0,求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
题6图
【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
?1,?fX(x)??0.2?0,?0?x?0.2,其他.
而
3
?5e?5y,fY(y)???0,y?0,其他.
所以
f(x,y)XY,独立fXx(?f)Yy( )? ??1?0.2?5e?5y???25e?5y,0?x?0.2且y?0,
??0,?0,其他.(2) P(Y?X)???f(x,y)dxdy如图??25e?5ydxdy
y?xD
??0.20dx?x-5y025edy??0.2?0(?5e?x55)dx
=e-1?0.3679.7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
?(1?e?4x)(1?e?2yF（x，y）=?),x?0,y?0,?0,其他.求（X，Y）的联合分布密度. 2【解】f(x,y)??F(x,y)?8e?(4x?2y)?x?y??,x?0,y?0,?0,其他.
8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=?4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,??0,其他.求边缘概率密度. 【解】f??X(x)????f(x,y)dy
?x =???04.8y(?2xy)?d??2.4x2(?2x),?0x?,??0,?0,其他.
1 fY(y)??????f(x,y)d x?1 =?4.8y(?2xx)2??y?d??2.4y(?3y4?y),?y0???0,?0,其他.
4
1,
题8图 题9图
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
??e?yf（x，y）=,0?x?y,?0,其他.
求边缘概率密度. 【解】fX(x)????(??fx,y)dy
??? =??xe?ydy???e?x ?,x?0,
??0,?0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx
?y =???0e?ydx???ye?x,y?0,
??0,?0,其他.
题10图
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??cx2y,x2?y?1,?0,其他.
（1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度. 【解】（1）
?????,?????f(xy)dxdy如图??f(x,y)dxdy
D =?1dx?1cx2ydy?4-1x221c?1.
得c?214.
(2) fX(x)??????f(x,y)dy
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