k??P(i?0kX?i)?P{Y?n??k}i?ki??nki??i?0k
??n?i??pq?i?n??i??p?k?i?n?kq?i?0?n??n?k2????pq?i??k?i?n?k
?2n?k2???pqk??方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则
X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,
X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,
所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布.
19.设随机变量（X，Y）的分布律为 Y 0 1 2 3 X 0 1 2 3 4 5 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； （2） 求V=max（X，Y）的分布律； （3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律. 【解】（1）P{X?2|Y?2}?P{X?2,Y?2}P{Y?2}P{X?2,Y?5
?2}??P{X?i?0i,Y?2}0.051?, 0.252P{Y?3|X?0}?P{Y?3,X?0}P{X?0}
?P{X?0,Y?33}??P{X?j?00,Y?j}0.011?; 0.033（2）P{V?i}?P{max(X,Y)?i}?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}
i?1i ??P{Xk?0?i,Y?k}??P{Xk?0?k,Y?i}, i?0,1,2,3, 4 11
所以V的分布律为
V=max(X,Y) 0 P
(3) P{U?i}?P{min(X,Y)?i}
?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}1 0.04 2 0.16 3 0.28 4 0.24 5 0.28 0
35??k?iP{X?i,Y?k}??k?i?1P{X?k,Y?i} i?0,1,2, 3于是 U=min(X,Y) P 0 1 0.30 2 0.06 3 0.13 4 0.19 2 0.25 5 0.24 6 0.19 3 0.17 7 0.12 8 0.05 0.28 (4)类似上述过程，有 1 0.02 W=X+Y 0 P 0 20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布. （1） 求P{Y＞0｜Y＞X}；
（2） 设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.
题20图
【解】因（X，Y）的联合概率密度为
?1,?f(x,y)??πR2?0,?x?y?R,其他.222
（1）P{Y?0|Y?X}?P{Y?0,Y?X}P{Y?X}
?? ?y?0y?xf(x,y)?d??y?xf(x,y)?d
???ππ/454πd??d??R0R01πR1πR2rdr rdrπ/42 12
?3/8?1/23; 4(2) P{M?0}?P{max(X,Y)?0}?1?P{max(X,Y)?0}
?1?P{X?0,Y?0}?1???x?0y?0f(x,y)d??1?2
14?34.
21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e所围成，二维随机变量（X，Y）
在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？
题21图
【解】区域D的面积为 S0?e2?1x1dx?lnxe12?2.（X,Y）的联合密度函数为
?1?,f(x,y)??2?0,?1?x?e,0?y?其他.21x
,（X，Y）关于X的边缘密度函数为
1?1/x1dy?,??fX(x)??022x?0,?1?x?e,其他.2
所以fX(2)?14.
22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和
Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. X x1 x2 P{Y=yj}=pj
1/8 1/6 1 Y y1 y2 y3 1/8 P{X=xi}=pi 2【解】因P{Y?yj}?Pj??P{Xi?1?xi,Y?yj},
故P{Y?y1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x2,Y?y1}, 从而P{X?x1,Y?y1}?16?18?124.
13
而X与Y独立，故P{X?xi}?P{Y?yj}?P{X?xi,Y?yi}, 从而P{X?x1}?即：P{X?x1}?16?P{X?x1,Y?y1}?124/16?14.
124.
又P{X?x1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x1,Y?y2}?P{X?x1,Y?y3}, 即
14?124?18?P{X?x1,Y?y3},
112.
38从而P{X?x1,Y?y3}?同理P{Y?y2}?312, P{X?x2,Y?y2}?161213
又?P{Y?yj}?1,故P{Y?y3}?1?j?1??.
同理P{X?x2}?从而
34.
P{X?x2,Y?y3}?P{Y?y3}?P{X?x1,Y?y3}?13?112?14.
故
X Y y1 1241816y2 183812y3 1121413P{X?xi}?Pi 1434x1 x2 P{Y?yj}?pj 1
23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率
为p（0 车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布. mmn?m【解】(1) P{Y?m|X?n}?Cnp(1?p),0?m?n,n?0,1,2,?. (2) P{X?n,Y?m}?P{X?n}?P{Y?m|X?n} e(1?p)??n!?nm?? ?Cpmnmnn,?m?n,n?0,?1, 2,. 14 24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~???1?0.32??，而Y的概率密度为f(y)，?0.7?求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为 G(u)?P{X?Y?u}?0.3P{X?Y?u|X?1}?0.7P{X?Y?u|X?2} ?0.3PY{?u?1|X?1?}由于X和Y独立，可见 0P.7Y?{u?2X|? G(u)?0.3P{Y?u?1}?0.7P{Y?u?2} ?0.3Fu(?1?)由此，得U的概率密度为 0F.7u?( g(u)?G?(u)?0.3F?(u?1)?0.7F?(u?2) ?0.3fu(?1?)0f.7u?( 25. 25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}≤1}. 解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有 ?1?1, 0?x?3,y?3,??, ? 0 f(y)??3 f(x)??3?0, x?0,x?3;?0, y?0,y?3.??因为X，Y相互独立，所以 ?1?, 0?x?3,0?y?3, f(x,y)??9?0, x?0,y?0,x?3,y?3. ?{Y,?}?1}. 推得 P{maxX9126. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为 Y X ??1 0 ??1 0 1 a 0 0.2 0.1 b 0.2 1 0 0.1 c 其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)=??0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，记Z=X+Y.求： （1） a,b,c的值； （2） Z的概率分布； （3） P{X=Z}. 15