BC3
，
CD2
∴∠BCE＝30°，∴∠FCE＝∠FCD＝30°， 在△CEF和△CDF中， ??∠D＝∠FEC＝90°
， ?∠DCF＝∠ECF?CF＝CF?
∴△CEF≌△CDF（AAS），④正确．
∵＝
同类题型3.1 如图，在矩形ABCD中，AD＝ 2 AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AED＝∠CED；②AB＝HF，③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤OE＝OD； 其中正确结论的序号是____________．
解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=2 AB， ∵AD=2 AB， ∴AE＝AD，
?在△ABE和△AHD中，?∠BAE＝∠DAE
?∠ABE＝∠AHD＝90°，
??AE＝AD
∴△ABE≌△AHD（AAS）， ∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝1
2
（180°－45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°－45°－67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠CED，故①正确；
∵∠AHB=1
2
（180°－45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE＝∠AED， ∴OE＝OH，
∵∠DOH＝90°－67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°－45°＝22.5°， ∴∠DOH＝∠ODH， ∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故⑤正确；
∵∠EBH＝90°－67.5°＝22.5°， ∴∠EBH＝∠OHD，
又∵BE＝DH，∠AEB＝∠HDF＝45°
??∠EBH＝∠OHD
在△BEH和△HDF中?BE＝DH
??
∠AEB＝∠HDF
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；
由上述①、②、③可得CD＝BE、DF＝EH＝CE，CF＝CD－DF， ∴BC－CF＝（CD＋HE）－（CD－HE）＝2HE，所以④正确； ∵AB＝AH，∠BAE＝45°， ∴△ABH不是等边三角形， ∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故②错误；
综上所述，结论正确的是①③④⑤．
同类题型3.2 如图，在矩形ABCD中，BC＝ 2 AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交AB边于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：
1
①AD＝DE②DH＝2 2 EH③△AEH∽△CFB④HO＝AE
2
其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）
解：在矩形ABCD中，AD＝BC＝2AB＝2 CD， ∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°， ∵AD⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形， ∴AD＝2 AB， ∴AH＝AB＝CD，
∵△DEC是等腰直角三角形， ∴DE＝2 CD， ∴AD＝DE，
∴∠AED＝67.5°，
∴∠AEB＝180°－45°－67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠AEB， ∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠DAE＝∠AED， ∴AD＝DE， 故①正确； 设DH＝1，
则AH＝DH＝1，AD＝DE＝2 ， ∴HE＝2 ，
∴22HE＝22≠1， 故②错误；
∵∠AEH＝67.5°， ∴∠EAH＝22.5°，
∵DH＝CD，∠EDC＝45°， ∴∠DHC＝67.5°，
∴∠OHA＝22.5°， ∴∠OAH＝∠OHA， ∴OA＝OH，
∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°， ∴OH＝OE，
1
∴OH＝ AE，
2故④正确；
∵AH＝DH，CD＝CE， 在△AFH与△CHE中， ??∠AHF＝∠HCE＝22.5°
?∠FAH＝∠HEC＝45°，
?AH＝CE?
∴△AFH≌△CHE， ∴∠AHF＝∠HCE， ∵AO＝OH，
∴∠HAO＝∠AHO，
∴∠HAO＝∠BCF，∵∠B＝∠AHE＝90°， ∴△AEH∽△CFB，故③正确． 答案为：①③④．
同类题型3.3 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
2112A． B． C． D．
4433
解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵点E是边BC的中点，
11
∴BE＝BC＝ AD，
22
∴△BEF∽△DAF， EFBE1∴＝＝ ， AFAD2
1
∴EF＝ AF，
21
∴EF＝ AE，
3
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE＝DE，
1
∴EF＝ DE，设EF＝x，则DE＝3x，
3∴DF＝
DE－EF＝22 x，
EFx2
∴tan∠BDE＝＝＝ ；
DF22x4
22
选A．
例4．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线AP交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝ 6 ，下列结论：
①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2 ；③EB⊥ED； ④S△APD＋S△APB＝1＋ 6 ．⑤S正方形ABCD＝4＋ 6． 其中正确结论的序号是___________________．
解：①∵∠EAB＋∠BAP＝90°，∠PAD＋∠BAP＝90°， ∴∠EAB＝∠PAD， 又∵AE＝AP，AB＝AD， ∵在△APD和△AEB中， ??AE＝AP
?∠EAB＝∠PAD，
??AB＝AD
∴△APD≌△AEB（SAS）； 故此选项成立； ③∵△APD≌△AEB， ∴∠APD＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠AEP＋∠BEP，∠APD＝∠AEP＋∠PAE， ∴∠BEP＝∠PAE＝90°， ∴EB⊥ED； 故此选项成立；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F， ∵AE＝AP，∠EAP＝90°， ∴∠AEP＝∠APE＝45°， 又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF， ∴∠FEB＝∠FBE＝45°，
22
又∵BE＝BP－PE ＝2， ∴BF＝EF＝2 ， 故此选项正确；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE＝AP＝1， ∴EP＝2 ， 又∵PB＝6 ， ∴BE＝2，
∵△APD≌△AEB，