第九节 圆锥曲线的综合问题
A组 基础题组
1.如图,抛物线W:y=4x与圆C:(x-1)+y=25交于A,B两点,点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q,则△PQC的周长的取值范围是( )
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A.(10,14) B.(12,14) C.(10,12) D.(9,11)
2.(2017湖南湘中名校联考)已知抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,△ABC的顶点都在抛物线上,且满足
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++=0,则++= .
3.已知椭圆+=1(a>0,b>0)过点(0,1),其长轴长、焦距和短轴长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足(1)求椭圆的标准方程;
(2)若λ1+λ2=-3,试证明:直线l过定点,并求此定点.
=λ
,
=λ
.
12
4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,其离心率e=,点P为椭圆上的一个动点,△PF1F2面积的最大值为4(1)求椭圆的方程;
(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点,AC与BD相交于点F1,
·
=0,求|
|+|
|的取值范围.
.
1
B组 提升题组
1.(2017湖南长沙模拟)如图,P是直线x=4上一动点,以P为圆心的圆Γ过定点B(1,0),直线l是圆Γ在点B处的切线,过A(-1,0)作圆Γ的两条切线分别与l交于E,F两点. (1)求证:|EA|+|EB|为定值;
(2)设直线l交直线x=4于点Q,证明:|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|.
2.(2017山东,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2(1)求椭圆C的方程;
(2)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,☉N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与☉N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.
.
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答案精解精析 A组 基础题组
1.C 作出抛物线的准线:x=-1. 过点Q向准线引垂线,垂足为H.
故|QC|=|QH|.
∵PC为圆的半径,∴|PC|=5.
∴△PCQ的周长=|PQ|+|QC|+|PC|=|PQ|+|QH|+5. 又∵PQ与x轴平行, ∴△PCQ的周长=|PH|+5.
∵点P为劣弧AB上不同于A,B的动点,A(4,4),B(4,-4), ∴5<|PH|<7,∴10<|PH|+5<12. ∴△PCQ的周长的取值范围为(10,12). 2.答案 0
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F,由++=0,得y1+y2+y3=0.易得kAB==,同理
kAC=,kBC=,所以++=++=0.
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3.解析 (1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b=1,且(2a)+(2b)=2(2c), 又a=b+c,所以a=3.
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所以椭圆的标准方程为+y=1.
(2)证明:由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2), 直线l的方程为x=t(y-m), 由
=λ
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知(x1,y1-m)=λ1(x0-x1,-y1),
∴y1-m=-y1λ1,由题意得y1≠0,
∴λ1=-1.
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