第三节 正交试验设计及其方差分析
在工农业生产和科学实验中，为改革旧工艺，寻求最优生产条件等，经常要做许多试验，而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验（即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验），多因素试验由于要考虑的因素较多，当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题.正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表——正交表，来安排试验，通过少量的试验，获得满意的试验结果.
1.正交试验设计的基本方法 正交试验设计包含两个内容：（1）怎样安排试验方案；（2）如何分析试验结果.先介绍正交表.
正交表是预先编制好的一种表格.比如表9-17即为正交表L4(23),其中字母L表示正交，它的3个数字有3种不同的含义：
表9-17 列号 试验号 1 2 3 4
列数
↓ L4 （23） ↑ ↑ 行数 水平数
（2） L4（23）表的用法：做4次试验，最多可安排2水平的因素3个.
最多能安排的因素数
↓ L4 (23) ↑ ↑ 试验次数 水平数
(3) L4（23）表的效率：3个2水平的因素.它的全面试验数为23=8次，使用正交表只需从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的.
L4 (23) ↑ ↑
实际试验数 理论上的试验数
正交表的特点：
（1） 表中任一列，不同数字出现的次数相同.如正交表L4(23)中，数字1，2在每列中均出现2次.
（2） 表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L4（23）中任意两列，
1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 (1) L4（23）表的结构：有4行、3列，表中出现2个反映水平的数码1，2.
1 2 3 数字1，2间的搭配是均衡的.
凡满足上述两性质的表都称为正交表(Orthogonal table). 常用的正交表有L9（34），L8（27），L16（45）等，见附表.用正交表来安排试验的方法，就叫正交试验设计.一般正交表Lp（nm）中，p=m(n-1)+1.下面通过实例来说明如何用正交表来安排试验.
例9.7 提高某化工产品转化率的试验.
某种化工产品的转化率可能与反应温度A，反应时间B，某两种原料之配比C和真空度D有关.为了寻找最优的生产条件，因此考虑对A，B，C，D这4个因素进行试验.根据以往的经验，确定各个因素的3个不同水平，如表9-18所示.
表9-18 水平 因素 A:反应温度（℃） B:反应时间（小时） C:原料配比 60 70 80 2.5 3.0 3.5 1.1∶1 1.15∶1 1.2∶1 1 2 3 D:真空度（毫米汞柱） 500 550 600 分析各因素对产品的转化率是否产生显著影响，并指出最好生产条件.
解 本题是4因素3水平，选用正交表L9（34）.
表9-19 列号 水平 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 1 把表头上各因素相应的水平任意给一个水平号.本例的水平编号就采用表9-18的形式；将各因素的诸水平所表示的实际状态或条件代入正交表中，得到9个试验方案，如表9-20所示.
表9-20 列号 水平 试验号 1 2 3 4 5 6 A B C D 1 2 3 4 1(60) 1(2.5) 1(1.1:1) 1(500) 1 2(3.0) 2(1.15:1) 2(550) 1 3(3.5) 3(1.2:1) 3(600) 2(70) 1 2 3 2 2 3 1 2 3 1 2 7 8 9 3(80) 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 1 从表9-20看出，第一行是1号试验，其试验条件是：
反应温度为60℃，反应时间为2.5小时，原料配比为1.1∶1，真空度为500毫米汞柱，记作A1B1C1D1.依此类推，第9号试验条件是A3B3C2D1.
由此可见，因素和水平可以任意排，但一经排定，试验条件也就完全确定.按正交试验表9-20安排试验，试验的结果依次记于试验方案右侧，见表9-21.
表9-21 列号 A B C D 水平 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1(60) 1(2.5) 1(1.1:1) 1(500) 1 2(3.0) 2(1.15:1) 2(550) 1 3(3.5) 3(1.2:1) 3(600) 2(70) 1 2 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3(80) 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 1 试验结果（%） 38 37 76 51 50 82 44 55 86 2.试验结果的直观分析
正交试验设计的直观分析就是要通过计算，将各因素、水平对试验结果指标的影响大小，通过极差分析，综合比较，以确定最优化试验方案的方法.有时也称为极差分析法.
例9.7中试验结果转化率列在表9-21中，在9次试验中，以第9次试验的指标86为最高，其生产条件是A3B3C2D1.由于全面搭配试验有81种，现只做了9次.9次试验中最好的结果是否一定是全面搭配试验中最好的结果呢？还需进一步分析. （1） 极差计算
在代表因素A的表9-21的第1列中，将与水平“1”相对应的第1，2，3号3个试验结果相加，记作T11，求得T11=151.同样，将第1列中与水平“2”对应的第4，5，6号试验结果相加，记作T21，求得T21=183.
一般地，定义Tij为表9-21的第j列中，与水平i对应的各次试验结果之和(i=1,2,3; j=1,2,3,4).记T为9次试验结果的总和，Rj为第j列的3个Tij中最大值与最小值之差，称为极差.
显然T=
?Ti?13ij，j=1,2,3,4.
此处T11大致反映了A1对试验结果的影响，
T21大致反映了A2对试验结果的影响， T31大致反映了A3对试验结果的影响，
T12，T22和T32分别反映了B1，B2，B3对试验结果的影响， T13，T23和T33分别反映了C1，C2，C3对试验结果的影响， T14，T24和T34分别反映了D1，D2，D3对试验结果的影响.
Rj反映了第j列因素的水平改变对试验结果的影响大小，Rj越大反映第j列因素影响越