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复变函数复习重点
(一>复数的概念
1.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数, x?Re?z?,y?Im?z?.i2??1. 注：一般两个复数不比较大小，但其模<为实数）有大小. 2.复数的表示 1）模：z?x2?y2；
2）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg?z?<多值函数）；主值arg?z?是位于(??,?]中的幅角。 3）arg?z?与arctan之间的关系如下： 当x?0,argz?arctan；
?y?0,argz?arctan? 当x?0,???y?0,argz?arctan??y??x； y??xyxyx4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中??argz；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：z?zei?，其中??argz。 (二> 复数的运算
1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2.乘除法：
1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则
z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；
z1x1?iy1?x1?iy1??x2?iy2?x1x2?y1y2y1x2?y2x1。 ????i2222z2x2?iy2?x2?iy2??x2?iy2?x2?y2x2?y22）若z1?z1ei?,z2?z2ei?, 则
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z1z2?z1z2e?1i???2?；
zz1?1ei??1??2? z2z23.乘幂与方根
1） 若z?z(cos??isin?)?zei?，则zn?2） 若z?z(cos??isin?)?zei?，则
nz(cosn??isinn?)?zein?。
nn??2k???2k???z?z?cos?isin?nn??1n(k?0,1,2n?1)<有n个相异的值）
<三）复变函数 2．复初等函数
1）指数函数：ez?ex?cosy?isiny?，在z平面处处可导，处处解读；且
?e???ezz。
注：ez是以2?i为周期的周期函数。<注意与实函数不同）
3） 对数函数： Lnz?lnz?i(argz?2k?)(k?0,?1,?2)<多值函数）；
主值：lnz?lnz?iargz。<单值函数）
Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解读，且
1?lnz?； ??z注：负复数也有对数存在。<与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：ab?ebLna(a?0)；zb?ebLnz(z?0)
注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解读，且?zb???bzb?1。
eiz?e?izeiz?e?izsinzcosz,cosz?,tgz?,ctgz?4）三角函数：sinz? 2i2coszsinzsinz,cosz在z平面内解读，且?sinz???cosz,?cosz????sinz
注：有界性sinz?1,cosz?1不再成立；<与实函数不同）
ez?e?zez?e?z,chz?4） 双曲函数 shz?； 221 / 29
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shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解读，且
?shz???chz,?chz???shz。
<四）解读函数的概念 1．复变函数的导数 1）点可导：f??z0?=limf?z0??z??f?z0?；
?z?z?02）区域可导：f?z?在区域内点点可导。 2．解读函数的概念
1）点解读：f?z?在z0及其z0的邻域内可导，称f?z?在z0点解读； 2）区域解读：f?z?在区域内每一点解读，称f?z?在区域内解读； 3）若f(z)在z0点不解读，称z0为f?z?的奇点；
3．解读函数的运算法则：解读函数的和、差、积、商<除分母为零的点）仍为解读函数；解读函数的复合函数仍为解读函数；b5E2RGbCAP <五）函数可导与解读的充要条件
1．函数可导的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在z?x?iy可导
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?可微，且在?x,y? 处满足C?D条件：
?u?v?,?x?y?u?v?u?v?? 此时，有f??z???i。 ?y?x?x?x2．函数解读的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在区域内解读
?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?在D内可微，且满足C?D条件：
?u?v?,?x?y?u?v??； ?y?x此时f??z???u?v?i。 ?x?x2 / 29