10．交换群一定是循环群。（ ）
11．设G是循环群，G同构与H，则H也是循环群 （ ）。 12．在整环〈A，+,·〉中无零因子条件等价于乘法消去律。（ ）
13．任意n元置换都可以分解为若干不相交对换的乘积，而且表示式是唯一的。（ ）
14．任意n元置换都可以分解为若干不相交轮换的乘积。（ ）
15．在有界分配格中，一个元素若有补元，则补元不一定是唯一的（ ）。 16．设A为一有限集合，则
17．N是自然数集，≤是小于等于关系，则
1设G??a?是18阶循环群，求出G的所有子群。
?12345??12345?2设?,?是5元置换，且????，????，
2145334512????计算①??；②??1；③将??表示成不交的轮换之积。 3、令G??Z,??是整数加群，求商群Z/4Z。
?12?为模12整数加群，求商群Z12/<3>。 4.设?Z12，??,G2??R，??,其中R*为非零实数的集合，5. G1??Z，+和?分别表示数的加
法和乘法。
*?:Z?R*,?(x)???1x是偶数
??1x是奇数说明?是否是单同态，满同态和同构，并求同态像?（G1)和同态核ker?。
??,G2??A，??,其中+和?分别表示数的加法和乘法。5. G1??R，A?{x|x?C?|x|?1}其中,C为复数集合。
?:Z?A,?(x)?cosx?i?sinx
说明?是否是单同态，满同态和同构，并求同态像?（G1)和同态核ker?。
6．设G?{a,b,c,d,e,f}，G上的运算*定义如表所示。
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* e a b c d f e e a b c d f a a b e d f c b b e a f c d c c f d e b a d d c f a e b f f d c b a e （1） 找出所有2个元素的子群； （2） 求?d?的所有右陪集。
7．设G是一个10阶循环群，a是它的一个生成元，指出G的所有生成元，并写出G的2阶和5阶子群。
8．设A?{1，2，3，4，6，812，，24},|为整除关系，则?A,|?是格，其中画出?A,|?的哈斯
图，并给出所有有补元素的补元。
，2，3}，则A的幂集P(A)与集合的包含关系?构成格?P(A),??，画出9. 设A?{1?P(A),??的哈斯图，并给出所有元素的补元。
10.设?A,|?是格，其中A?{1，2，510，，，1122，55110}，，|为整除关系，画出?A,|?的哈斯图，并给出所有有补元素的补元。
11．设?A,|?是格，其中A?{1,2,3,4,6,9,12,18,36}，| 为整除关系，画出?A,|?的哈斯图，并给出所有有补元素的补元。 五、证明题
1.设G1??Q,+?是有理数加群，G2??Q*,??是非零有理数乘法群，证明不存在G2到
G1的同构。
??为实数加群，?R*，??为非零实数集关于普通乘法构成的群，2．设?R，??到?3.令f:R?R*,f(x)?ex，证明：f是?R，同态核kerf。
R*，??的同态映射，并求
4. 设G?{23|m,n?Z}，G关于普通的乘法构成群，对任意的m，n，f(2m3n)?2m，试证明：f是G到G的同态映射，并求同态核kerf。
5.
mnSn是A?{1,2,3,...,n}上的所有置换组成的集合，
(1)．证明Sn对置换乘法（函数复合）运算构成群；
7
?1?s,t?S,sRt??g?G,s?gtg,证SS(2)．G是n的子群，则n上定义关系R，n明R是Sn上的等价关系。
??10??10???10???10??6.设G????01??,??0?1??,??01??,??0?1???，证明G关于矩阵乘法构成群。
??????????7．设G={a + bi|a ,b∈Z}，其中i是虚数单位，则
9. 在整数集Z上定义：a*b?a?b?2,?a,b?Z，证明
11 .设G是群，令C?{a|a?G??x?G(ax?xa)}，证明C≤G。 12.设H和K分别为群G的r，s阶子群，若r和s互素，证明H?K?{e}。 13.证明G1为循环群，?是G1到G2的同态，证明?(G1)也是循环群。 14.设?是G1到G2的同态，则ker??G1.
15. 设L是格，试证明：?a,b,c?L,有a?(b?c)?(a?b)?(a?c).
?1={aha?1| h∈H}，
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