小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)

小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)

目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型), 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

AB①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; SS两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;

abCD如右图S1:S2?a:b

12③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图S△ACD?S△BCD; 反之,如果S△ACD?S△BCD,则可知直线AB平行于CD.

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;

⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上,E在AC上),

则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEEDC AS1图⑴ 图⑵ S4S2O三、蝶形定理

S3任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):

B①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造

BCBCa模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边ADS1形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积S2S4O对应的对角线的比例关系.

S3梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”):

①S1:S3?a2:b2 Bb22②S1:S3:S2:S4?a:b:ab:ab; ③S的对应份数为?a?b?2.

四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

CAEAFDDBABACFGBCAGEC

BGC

①AD?AE?DE?AF;

②S△ADE:S△ABC?AF2:AG2.

所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.

在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、共边定理(燕尾模型和风筝模型)

在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,那么AS?ABO:S?ACO?BD:DC.

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因EF为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称

O为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,

CD它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为B三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题

【例 1】

如图,正方形ABCD的边长为6,AE?1.5,CF?2.长方形EFGH的面积为 .

_H _D_H _D_A_E

_G

_A

_E

_G

_B

_F

_C

_B

_F

_C

【解析】 连接DE,DF,则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍.

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,

S△DEF?6?6?1.5?6?2?2?6?2?4.5?4?2?16.5,所以长方形EFGH面积为33.

【巩固】如图所示,正方形ABCD的边长为8厘米,长方形EBGF的长BG为10厘

米,那么长方形的宽为几厘米?

_ E_ A_ F

_ D

_ G

_ C _ B

_ F

_ D

_ C

_ A_ E_ B

_ G

【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方

形和正方形可以看作特殊的平行四边形).三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半. 证明:连接AG.(我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一

起).

∵在正方形ABCD中,S△ABG??AB?AB边上的高,

∴S△ABG?SWABCD(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积

的一半)

1S?SEFGB. 同理,△ABG21212∴正方形ABCD与长方形

?8?8?10?6.4(厘米).

EFGB面积相等. 长方形的宽

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