E?PP?4??0(R?a)34??0(R?a)3当R??a时，a?3a)?R?3(1?3)RRaa?3（R?a）?R?3(1?)?3?R?3(1?3)RRP11E?[?]?3?34??0（R?a）（R?a）?3（R?a）?R?3(1?a6aP12a2q?(6)??4??0R3R4??0R44??0R4P3a2q???0R4
4-3、一个均匀带电的细棒长为L，带电总量为Q，求证：在棒的垂直平分线上离棒为a处的场强为
E?1Q22dyrpaθ2??0aL?4a ，又问，当棒为无限长时，该点
的E又为多少？ 解：积分变量代换
2r?a/cos? y?atg? dy?asec?d?
取线元
dy 带电dq??dy
dE??1?dydE?cos?x将dE投影到坐标轴上 4??r201?dy4??0r2
Ex??4??0???21cos?asec2?d?22asec?
Ey?0?Ex?4??0sin?2????21cos????22asec?d??(sin?2?sin?1)?cos?d?a2sec2?4??0a4??0a??1
L/2L/2,sin?1??rr
r?(L/2)2?a2?Ex?12??0a2QL?4a2?Ex?
12??0a2QL?4a
R2Ey?0极限情况，由
L2?4a2?L
E?Ex?无限长均匀带电直线的场强：
?2??0aP?dErdrx4-4、一半径为R的带电圆盘，电荷面密度为α。求： （1）圆盘轴线上任一点P的场强；
11
（2）当R→∞时，p点的场强为多少？ 解：由例题知均匀带电圆环轴线上一点的电场
xq4??0(R2?x2)3/2
xdqx??2?rdrdE??4??0(r2?x2)3/24??0(r2?x2)3/2 2??xRrdr???xE??1?221/2?4??0?0(r2?x2)3/22?0??(R?x)? E?E????x1?2?21/2?2?0?(R?x)?
讨论： 1. 当R2. 当R??x ,??x,
E??2?0 无限大均匀带电平面的场强，匀强电场
??R2?x??1?2?(R2?x2)1/2?x????1/21?R??1???2?x?2?
?R2qE??4?0x24??0x2
可视为点电荷的电场
4-5、大多数生物细胞的细胞膜可以用两个分别带有电荷的同心球壳系统来模拟。在题4-5图中，设半径为R1和R2的球壳上分别带有电荷Q1和Q2，求： （1）?、П、Ш区域中的场强；
（2）若Q1＝-Q2，各区域的场强又为多少？画出此时的场强分布线（即E﹣r关系曲线）。从这个结果，你可以对细胞膜产生的电场有个概括的了解。 解：作同心且半径为r的高斯面.
??2?E?dS?E4?rSE?
?q4??0r2
Q2Q1?EII?Q14??0r2R1R2 r?R1时，高斯面无电荷，
EI?01
R1?r?R2时，高斯面内的电荷为Q
均匀带电同心球壳的电场分布 E?r 关系曲线
IIIIII，
rr?R2时，高斯面包围电荷Q1+Q2，
?EIII?Q1?Q24??0r2Q124??0R1Q14??0R22E?r?2R1R20r
4-6、试验表明，在靠近地面处有相当强的大气电场，场强的方向垂直地面向下，大小约为100N*C-1 ；在离地面1.5km高的地方，场强的方向也是垂直地面向下，大小约为25N.C-1 。 （1）计算从地面到此高度的大气中电荷的平均体密度；
12
（2）若地球上的电荷全部分布在表面，求地面上的电荷密度； （3）已知地球的半径约为 6?106m，地球表面的总电量 Q 是多少？ 解：（1）
??4E?ds?E4?r2?[?(r3?R3)?]/?0?3s3E?0r2 ???3?5.9?10?13c/m33r?RQ4(2)?????(r3?R3)/4?R2s3??(r3?R3)/3R??8.85?10?10c/m2
4-7、随着温度的升高，一般物质依次表现为固体、液体、和气体、它们统称物质的三态。当温度继续升高时，气体中的大量分子将由于激烈的碰撞而离解为电子和正离子。这种主要由电子和正离子组成的状态为物质的第四态，处于该态的物质称等离子体。若气体放电时形成的等离子体圆柱内的体电荷分布有如下关系
2(3)Q??s??4.0?105c?e?r???0??r??1??????a?22???? ，其中 r 是到轴线的距离，?0是轴线上的 ?e值， 为常量，求场强分布。
解：电场分布具有柱对称性，方向沿径向。作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面, 高为l,半径为r
?????E?dS??E?dSs侧面
dqQ??E?2?rl???0?0dq??E???0Q2?rl?0
V??r2l?dV?2?rldr?dq??dV??e(r)2?rldr
Q??dq???dV??2?rl(0rr?022[1?(r/a)])drl?2?l?0?(0rr1)rdr[1?(r/a)2]2a21r2?2?l?0?()d()02[1?(r/a)2]2a1??l?0a2(1?)1?(r/a)2
?E???dq??0Q?2?rl?0?l?0a2[1?1]?0a2r21?(r/a)2?(22)2?rl?02r?0a?r
?0a2r2?0(a2?r2)4-8、已知电子质量 m=9.11?10-31kg ，电子质量e=1.6?10-19C 。
（1）设电子质量与电子运动速度无关，把静止电子加速到光速C 需要多高的电压
?U ？
（2）对于高速运动的电子来说，上述算法有误，因为根据相对论，物体的动能不是
12mv2 ，而是
13
????12?mc?1? 。根据这个公式，静止电子经过上述电压加速后，速度为多少？它是光速度的百分之几？ ??v2?1?2?c??（3）按相对论，要把带电粒子从静止加速到光速C，需多高的电压？这可能吗？ 解：
12mc??u?2.56?105V21(2)e?u?mc2[?1]221?v/c?1?v2?[?1](e?u/mc2?1)2(1)e?u??v?2.336?108m/sv??74.5%c
4-9、水分子的电偶极矩为 6.13?10-30C*m ，如果这个电偶极矩是由一对点电荷 向需要多少能量（用 eV表示）？ 解：
pe?ql?6.13?10?30?1.60?10?19l?l?3.83?10?11m(2)W?A?2eEl?7.66?10?5ev
当v=c时，动能趋近于无穷大，所以，电压也将趋近于无穷大。
?e 引起的，那么，它们的距离必
须是多少？如果这个电偶极子的取向与强度为 106N*C-1 的电场方向一致，要使这个电偶极子倒转成与电场相反的方
4-10、动物的一些神经纤维可视为半径为 10-4m长为 0.1m 的圆柱体，其内部的电势比周围流体的电势要低0.09V ，有一层薄膜将神经纤维和这些流体隔开。存在于薄膜上的 Na+泵（一种运输 Na+ 的特种蛋白）可以将 Na+ 离子输送纤维。若已知每平方厘米薄膜每秒钟可送出3?10-11mol 的 Na+ 离子，问： （1） 每小时有多少库仑的电荷被送出纤维？ （2）每小时必须反抗电场力作多少功？ 解： (1)Q?2?rlN0qt
4-11、计算习题4-5中 Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ 区域的电势。 解：（1）由高斯定理知，电场分布为
?2?3.14?10?4?0.1?3?10?11?104?6.02?1023?1.60?10?19?3600?6.53?10?3c/s(2)W?Q?u?5.88?10?4J/小时?? 0r?R1??1Q1?E?? R1?r?R224??ro??1Q1?Q2r?R2? 2?4??ro????U1??E?drrR1123R2r.P1）.当r 14 ? ? ?R1rE1?dr??E2?dr??E3?drR1R2R2? ?0?Q14??0r(R2R1?Q1?Q24??0r?R214??0Q1Q2?)R1R22）.当 R1?r?R2时， ?rU2?? ??E?dr ??E2?dr??E3?drrR2R2????Q14??0r1(R2r?Q1?Q24??0r?R24??0Q1Q2?)rR2?r????Q1?Q2U?E?dr?E?dr?33r?R2时，?r3）.当 ?r4??0r?Q1?Q24??0r （2）由高斯定理知，电场分布为 ? 0r?R1?1Q1?E?? R1?r?R224??ro?? 0r?R2?R1123R2r1）.当r .PU1?? 2）.当 ?r??RR??E?dr?E?dr?E?dr?r1?R2?RE3?dr12 12?0??Q14??0r(R2R1?01)R?4??RR2012???U2??E?dr??rE2?dr??R2E3?dr?rR1?r?R2时， Q1 1 ???Q14??0rR2r?0Q111(?)4??0rR2r???r?R2U?E?dr3）.当时， 3???E3?dr?0r?4-12、一半径为R的均匀带电细圆环，所带总电量为q，求圆环轴线上距圆心为x处任一点的电势。 解：带电细圆环在圆环轴线上距圆心为x处的电场强度为： E?qx4??0(R2?x2)3/2 15