离散型随机变量的均值与方差、正态分布
训练题
一、题点全面练
1.(2019·乌鲁木齐模拟)口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
1
A. 3C.2
2B. 38D. 3
解析：选D 因为口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球，从中11
任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2,3，所以P(X＝2)＝2＝，P(X＝3)
C33C2C12128＝2＝，所以E(X)＝2×＋3×＝. C33333
2.已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X＞1)＝0.5，P(X＞2)＝0.3，则P(X＜0)＝( )
A.0.2 C.0.7
B.0.3 D.0.8
11
解析：选B 因为随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X＞a)＝0.5.由P(X＞1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X＜0)＝P(X＞2)＝0.3，故选B.
3.(2019·合肥一模)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布
N(100,4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98,104]内的产品
估计有( )
(附：若X服从N(μ，σ)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5)
A.4 093件 C.6 827件
B.4 772件 D.8 186件
2
解析：选D 由题意可得，该正态分布的对称轴为x＝100，且σ＝2，
则质量在[96,104]内的产品的概率为P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98,102]内的产品的概率为P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，结合对称性可知，质量在[98,104]内的产品的概率为0.682 7＋
0.954 5－0.682 7
＝0.818 6，据此估计质量在
2
[98,104]内的产品的数量为10 000×0.818 6＝8 186(件).
4.某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮22次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为，如3果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是( )
A.3 C.2
8B. 35D. 3
122281
解析：选B 在一轮投篮中，甲通过的概率为P＝2××＋×＝，未通过的概率为.X33339988?8?服从二项分布X～B?3，?，由二项分布的期望公式，得E(X)＝3×＝.
93?9?
5.某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝( )
A.1 5
C. 3
4B. 3D.2
解析：选B 由已知得ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝××＝，P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝，P(ξ＝2)＝×11
2221361212112111232232235121122
211111111111151×＋××＋××＝，P(ξ＝3)＝××＝.∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋32232233223126123143×＝. 123
6.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，
X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.
解析：依题意，X～B(100,0.02)， 所以D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96. 答案：1.96
7.若随机变量ξ的分布列如表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝________.
ξ 0 0.1 1 2 3 0.1 P a b 解析：易知a，b∈[0,1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.
答案：－0.2
8.一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了.设放对的个数为ξ，则ξ的期望值为________.
解析：将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A4种不同放法，放对的个93C4×21C41数ξ可取的值有0,1,2,4.其中，P(ξ＝0)＝4＝，P(ξ＝1)＝4＝，P(ξ＝2)＝4＝，A48A43A44
1
2
4
P(ξ＝4)＝4＝，
3111
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.
83424答案：1
9.(2019·长春质检)某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2018年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选择的贷款期限的频数如下表：
贷款期限 频数 6个月 20 12个月 40 18个月 20 24个月 10 36个月 10 1
A4124
以上表中选择的各种贷款期限的频数作为2019年自主创业人员选择的各种贷款期限的概率.
(1)某大学2019年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率；
(2)设给某享受此项政策的自主创业人员的补贴为X元，写出X的分布列；该市政府要做预算，若预计2019年全市有600人申报此项贷款，则估计2019年该市共要补贴多少万元.
2解：(1)由题意知，每人选择的贷款期限为12个月的概率为，
5
?2?23362
所以3人中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率P＝C3×??×＝.
?5?5125
13
(2)由题意知，享受的补贴为200元的概率p1＝，享受的补贴为300元的概率p2＝，
551
享受的补贴为400元的概率p3＝，所以随机变量X的分布列为：
5
X P
200 1 5300 3 5400 1 5