《代数学》辅导纲要
第一章 代数运算与自然数 主要内容：
1、集合与映射的概念 2、映射及其运算 3、代数系统
4、自然数及其他相关定义
5、归纳法原理与反归纳法的运用 重点掌握
1、由A→B的单映射σ的定义为：设σ:A→B,若由a1∈A,a2∈A,a1≠a2，就推出σ（a1)≠σ(a2)，则称σ为从A到B的单映射。
2、由A→B的满映射σ的定义为：设σ:A→B,若ran(σ)=B，则称σ为从A到B的满映射。
3、给出一个由整数集合Z到自然数集合N的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象 4、若集合|A|=n，则集合A→A的映射共有nn种。 5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。
6、自然数a与b加法的定义中两个条件为①：a+1=a'②：a+b'=(a+b)'. 7、自然数a与b相乘的定义中两个条件为: ①：a?1=a;②：a?b'=a?b+a 8、自然数a>b的定义为:如果给定的两个自然数a与b存在一个数k,使得a=b+k，则称a大于b,b小于a,记为a>b或b 9、皮阿罗公理中的归纳公式为:具有下面性质的自然数的任何集合M若满足： (1)1∈M;(2)如果a属于M,则它后面的数a’也属于M.则集合M含有一切自然数，即M=N. 10、在整数集合中求两个数的最大公因数是代数运算。 11、若|A|=m，|B|=n，则A→B的所有不同映射的个数为nm。 12、若A是有限集合，则A→A的不同映射个数为：|A||A|。 13、从整数集合Z到自然数集合N存在一个单映射。 14、若A是有限集合，则不存在A到其真子集合的单映射。 15、若A为无限集合，则存在A的真子集合B使其与A等价。 16、存在从自然数集合N到整数集合Z的一个满映射，但不是单映射。 可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与(-1)n有关的映射 17、存在从自然数N到整数集合Z的双射。 可考虑分段映射 18、代数系统(R+,?)与代数系统(R,+)是同构的，其中R+表示正实数集合，R 表示实数集合，?与+就是通常的实数乘法与加法。 根据同构定义，只需找到一个从(R+,?)到(R,+)的一一映射，例如lgx就可以证明上述论述。 19、令Q+为正有理数集合，若规定 a⊕b=a+b，a?b=ab 则： 2 （1）{Q+,⊕}构成代数体系，但不满足结合律。 （2）{Q+,?}不构成代数体系，但满足结合律。 根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。 20、若在实数集合中规定a⊕b=a+b-a×b，其中+与×是通常的加法与乘法，则⊕满足结合律。 只需证明等式（a⊕b）⊕c=a⊕(b⊕c)成立 21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n个数的算术平均值大于等于这n个数的几何平均值。 归纳法根据定义易证，在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,2n都成立，假设命题对n=k成立，令Sk= -1Skk-1≥a1a2...ak-1证之成立 a+a2+...+ak-1a1+a2+...+ak,Sk-1=1，利用k-1k 第二章 不等式 主要内容： 1、一些初等不等式的证明 2、几个著名不等式：柯西不等式、赫勒德尔不等式、明可夫斯基不等式的证明 3、均值不等式、柯西不等式等常用不等式的应用 4、凸函数的性质与应用 重点掌握： 1、a1+a2+??+ann≥a1a2??an等号成立的条件为：a1=a2=...=an n n2n2 in2、柯西不等式(∑aibi)≤(∑a)(∑bi2)等号成立的条件为： 111aa1a2==...=n bnb1b2 x1,x23、f(x)为上凸函数的定义为：对任意的 有:f(q1x1+q2x2)≥q1f(x1)+q2f(x2),其中q1≥0,q2≥0,q1+q2=1，则称f(x)为上凸函数。 4、f(x)=x0..3（x>0），g(x)=sin x（0 5、f(x)=xk（其中x>0），则当0 6、y=lg x则y是上凸函数 . 7、函数f1(x)=sinx（其中0 118、sin(x1+x2)≥(sinx1+sinx2) 22 9、不等式（a1+a2+??+an）（ 2，……n成立。 111++……）≥n2，其中ai≥0，i=1，ana1a2 可利用柯西不等式(∑aibi)≤(∑a)(∑bi2)证之成立 22 i 111nnn 10、若a>b>c>0且a+b+c=1，则2abc存在极大值，为2；若已知a×b×c=1，27 则2a+b+4c存在极小值，为6。 利用均值不等式（算术平均值大于等于几何平均值）可算得2abc极大值为2，2a+b+4c的极小值为6. 27 11、若x>0,y>0,z>0且满足9x2+12y2+5z2=9 ,则3x+6y+5z存在极大值，为9。 利用柯西不等式(∑aibi)≤(∑a)(∑bi2)易知3x+6y+5z的极大值为9，其22 i 111nnn 中a1=3x,b1=1,a2=2y,b2=,a3=z,b3=。 12、若x>0,y>0,z>0且满足3x2+y2+z2=15，则2x+3y+4z存在极大值，395。 利用柯西不等式(∑aibi)≤(∑a)(∑bi2)易知2x+3y+4z的极大值为，22 i 111nnn 其中a1=3x,b1=2 3,a2=y,b2=3,a3=z,b3=4。 13、若x>0,y>0,z>0且满足3x2+4y2+5z2=20 ，则9x+16y+7z存在极大值，为：。 利用柯西不等式(∑aibi)≤(∑a)(∑bi2)易知9x+16y+7z的极大值为22 i 111nnn ，其中a1=3x,b1=3,a2=2y,b2=8,a3=5z,b3=7 5。 14、若x>0,y>0,z>0。且满足2x2+3y2+4z2=10，则5x+6y+7z存在极大值，为：7。 2 利用柯西不等式(∑aibi)≤(∑a)(∑bi2)易知5x+6y+7z的极大值为22 i 111nnn 757，其中a1=2x,b1=,a2=3y,b2=23,a3=2z,b3=。 222 15、若x>0,y>0,z>0。且满足x2+2y2+3z2=15，则2x+3y+4z存在极大值，为：415。 2 利用柯西不等式(∑aibi)≤(∑a)(∑bi2)易知2x+3y+4z的极大值为22 i 111nnn415，2 其中a1=x,b1=2,a2=2y,b2=3 2,a3=z,b3=4 3。 16、若x>0,y>0,z>0，且满足2x2+3y2+4z2=10，则3x+4y+5z存在极大值，为965。 6 利用柯西不等式(∑aibi)≤(∑a)(∑bi2)易知3x+4y+5z的极大值为22 i 111nnn965，6 其中a1=2x,b1=3 2,a2=y,b2=4 3,a3=2z,b3=5。 2 αn1α217、不等式 α1a1+α2a2+…+αnan≥aα 1成立，其中α1+α2+…+αn=1 a2...an αi≥0,ai≥0, i=1,2…n。 可令f(x)=lgx，则易知f(x)为上凸函数，利用上凸函数的定义可知上面不等式成立。 18、若0 qi>0，xi>0,i=1,2,…n。 可令f(x)=xk，易证f(x)在为上凸函数，利用上凸函数的定义可知上面不等式成立。 19、半径为R的圆内接n边形中，以正n边形的面积最大。 设其内接n边形的面积为S,n边形各边所对应的圆心角为θ1,θ2,...,θn，则 S=12R(sinθ1+sinθ2+...+sinθn)，再根据sinx在(0,π)上是上凸函数可知上面2 论述成立。 第三章 多项式与环 主要内容： 1、不可约因式与素因式的概念 2、因式分解唯一环的概念及实例 3、多项式的代数定义与分析定义 4、对称多项式 5、基本定理证明 6、一元三次方程与一元四次方程的根 7、多项式的零点估计 8、重因式与结式 9、施斗姆定理 重点掌握： 1、举出一个交换环的例子：如剩余类环Z5。 2、环的理想定义为：如果R是一个整环，N?R，为R的子环，若对任意的r∈R,a∈N,均有r?a∈N，则称N为R的理想。 3、剩余类环Z12中可逆元素为:1,5,7,11。 4、剩余类环Z12中非可逆元素为: 0,2,3,4,6,89,10。 5、Z8中的可逆元素为: 1,3,5,7。 6、在剩余类环Z8中不可逆的元素为:0,2,4,6 。 7、整环中因式分解不是唯一的例子是:例如：在整环R=a+b-3|a∈Z,b∈Z中，4=2?2=(1+-3)(1--3)。 ____________________{} ?10??00?8、在二阶方阵环（实数域上）中找出两个零因子，如： 00??, 01??。 ???? 9、剩余类环Z12中的真零因子有2,3,4,6。 10、素元素的定义为:设R为整环，若p∈R,p≠θ,p也不是可逆元素。若由p|a?b就可推出p|a或p|b，这时我们称p为素元素。 11、不可约元素的定义为：设R为整环，c∈R,c≠θ,c也不是可逆元素，且若____ c=a?b就可推出a是可逆元素或者b是可逆元素，这时我们称c是不可约元素。 12、整数环Z上的代数元与超越元分别举出二例：例如1，2是Z上的代数元，e,π是Z上的超越元。 13、π为有理数域上的超越元。 14、2是有理数域上的代数元。 15、Z[x]（Z是整数环）是因式分解唯一环。 16、在整环R={a+b3 | a∈Z，b∈Z }中2是不可约元素。 因为在R中，2?2=(1+-3)(1--3) 17、有理系数n次多项式在有理数域内最多有n个根。 18、在环R={a+b 整环。 根据定义以及反例：2?2=(1+-3)(1--3)可知2是不可约元素，但不是素元素。 19、若数域F含有无穷多个元素，则域F上的两个多项式f(x)与g(x)相等的代数定义与分析定义是一致的。