晶格振动与晶体的热学性质课程总结
晶体内原子并不是在各自平衡位置上固定不动的，而是围绕其平衡位置作振动。由于晶体内原子间的相互作用力，使各原子振动相互联系。因此，晶体中形成了个中国模式的波。当振动很微弱时，原子间的非谐的相互作用可以忽略，即在简谐近似下，这些模式才是相互独立的。由于晶格的周期性条件，模式所取得 能量值不是连续的而是分立的。对于这些独立而又分立的振动模式，可以用一系列的简谐振子来描述。 一、一维单（双）原子链的振动 『1』 一维单原子链的振动
·运动方程：
考虑N个质量为 m 的同种原子组成的一维单原子链。设平衡时相邻原子间距为 a（即原胞大小），在 t 时刻第 n 个原子偏离其平衡位置（格点）的位移为????。
另外假设，只有近邻原子间存在相互作用，互作用能可以一般的写成：
υ ??+?? =?? ?? +2????2+高阶项项，
其中δ表示对于平衡距离α的偏离。按照一般小振动近似相互作用能保留到??2即简谐近似，在这个近似下，相邻原子间的作用力为：
????
≈?βδ ????表明存在于相邻原子间的是正比于相对位移的弹性恢复力。结合教材相关描
F=?
述，考查图中第n个原子的运动方程，它受到左右两个紧邻原子对它的作用力：
左方第(n-1)个原子与它的相对位移δ=??????????1,力f1=?β(??????????1),右
1
方第（n+1）个原子与它的相对位移δ=????+1????? ，力f2=?β（????+1?????） ，考虑到两个力的作用方向相反，得到：
·格波形式的解：
其中A是振幅，ω是角频率，q 是波数，λ是波长，naq 是第n个原子的位相因子。
·色散关系：
1、假设该一维单原子链是无穷长的链且所有原子都假设有相同的运动方程，则色散关系可初步表示为：ω2=
2????
1??????????? =
4????
??????2 2????
1
2、周期性边界条件（玻恩—卡曼边界条件）下：在只有紧邻作用时，最两端的原子只受到一个紧邻的作用，因此，他们将有与其他原子形式不同的运动方程。虽然仅有少数原子的运动方程不同，但由于所有原子的方程都是联立的，具体解方程就变得复杂得多。为避免这种情况，引出了玻恩—卡曼边界条件。
在教材中是这样描述玻恩—卡曼边界条件的：包含N个原胞的环状链作为一个有限链模型，它包含有限数目的原子，然而保持所有原胞完全等价。也就是说，原胞数n增加N，振动情况必须复员，参看格波解知道
e??? ?????? =1 或者 q=???????,(??=整数)
q的分布密度：
2??
可以
第一布里渊区内波数q的总数就是晶体链原胞的数目N.
每个q值对应着2个频率，所以：晶格振动的格波总数=2N=晶体链的自由度数 但考虑到 q 值的取值范围，n 取值数目是有限的：只有布里渊区内的 N 个整数值
?
??2????????≤n<∴?≤??< ????????22值得注意的是：周期性边界条件并没有改变方程解的形式，只是对解提出一定的条件，q 只可取N个不同的值，每个q对应着一个格波。在此条件下得到的色散关系如下：
??1
ω=2|??????????| ??2一维原子链第一布里渊区内的色散关系：
1.周期性，在q空间的周期为2/a；
2.关于Oω轴对称；3.频率的极小值为0，极大值在简约区边界 在长波长极限区，即 q→0 时，格波就是弹性波。
解的物理意义：
格波解：μ????=?????? ???????????
原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距??的整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。 一般的连续介质波：Ae
?? ?????2??
??
??2??
=?????? ?????????