因动点产生的相似三角形问题(解析)

因动点产生的相似三角形问题(解析)

如图1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.

(1)求这条抛物线的表达式;

(2)连结OM,求∠AOM的大小;

(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.

图1

1.第(2)题把求∠AOM的大小,转化为求∠BOM的大小. 2.因为∠BOM=∠ABO=30°,因此点C在点B的右侧时,恰好有∠ABC=∠AOM.

3.根据夹角相等对应边成比例,分两种情况讨论△ABC与△AOM相似.

满分解答

(1)如图2,过点A作AH⊥y轴,垂足为H. 在Rt△AOH中,AO=2,∠AOH=30°, 所以AH=1,OH=3.所以A(?1,3).

因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点, 设

y

ax(x

2)

A

a?33. 所以抛物线的表达式为y?33x(x?2)?33x2?233x. (2)由y?322333x?3x?3(x?1)2?33, 得抛物线的顶点M的坐标为(1,?33).所以tan?BOM?33.所以∠BOM=30°.所以∠AOM=150°. (3)由A(?1,3)、B(2,0)、M(1,?33), 1

(?1,3),可得

图2

得tan?ABO?323,AB?23,OM?. 33OA?3. OM所以∠ABO=30°,

因此当点C在点B右侧时,∠ABC=∠AOM=150°. △ABC与△AOM相似,存在两种情况: ①如图3,当

BAOABA23??3时,BC???2.此时C(4,0). BCOM33②如图4,当

BCOA??3时,BC?3BA?3?23?6.此时C(8,0). BAOM

图3 图4

2、如图1,已知抛物线y?1x2?1(b?1)x?b(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交

444于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C.

(1)点B的坐标为______,点C的坐标为__________(用含b的代数式表示); (2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;

(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

图1

思路点拨

1.第(2)题中,等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等.

2.联结OP,把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含b的式子表示.

3.第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点Q

2

最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上.

满分解答

(1)B的坐标为(b, 0),点C的坐标为(0,

b). 4(2)如图2,过点P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E,那么△PDB≌△PEC. 因此PD=PE.设点P的坐标为(x, x). 如图3,联结OP.

1b15所以S四边形PCOB=S△PCO+S△PBO=??x??b?x?bx=2b.

2428解得x?161616.所以点P的坐标为(,). 555

图2 图3 11b1(3)由y?x2?(b?1)x??(x?1)(x?b),得A(1, 0),OA=1.

4444①如图4,以OA、OC为邻边构造矩形OAQC,那么△OQC≌△QOA.

BAQA当,即QA2?BA?OA时,△BQA∽△QOA. ?QAOAb所以()2?b?1.解得b?8?43.所以符合题意的点Q为(1,2?3).

4②如图5,以OC为直径的圆与直线x=1交于点Q,那么∠OQC=90°。 因此△OCQ∽△QOA. BAQA当时,△BQA∽△QOA.此时∠OQB=90°. ?QAOA所以C、Q、B三点共线.因此

BOQA,即b?QA.解得QA?4.此时Q(1,4). ?COOAb14

图4 图5

3、如图1,已知抛物线的方程C1:y??1(x?2)(x?m) (m>0)与x轴交于点B、

mC,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.

(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;

3

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