因动点产生的相似三角形问题(解析)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
图1
1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小． 2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．
3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．
满分解答
（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H． 在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°， 所以AH＝1，OH＝3．所以A(?1,3)．
因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点， 设
y
＝
ax(x
－
2)
，
代
入
点
A
a?33． 所以抛物线的表达式为y?33x(x?2)?33x2?233x． （2）由y?322333x?3x?3(x?1)2?33， 得抛物线的顶点M的坐标为(1,?33)．所以tan?BOM?33．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°． （3）由A(?1,3)、B(2,0)、M(1,?33)， 1
(?1,3)，可得
图2
得tan?ABO?323，AB?23，OM?． 33OA?3． OM所以∠ABO＝30°，
因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°． △ABC与△AOM相似，存在两种情况： ①如图3，当
BAOABA23??3时，BC???2．此时C(4,0)． BCOM33②如图4，当
BCOA??3时，BC?3BA?3?23?6．此时C(8,0)． BAOM
图3 图4
2、如图1，已知抛物线y?1x2?1(b?1)x?b（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交
444于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
图1
思路点拨
1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．
2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．
3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q
2
最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．
满分解答
（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0,
b)． 4（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC． 因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP．
1b15所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝??x??b?x?bx＝2b．
2428解得x?161616．所以点P的坐标为(,)． 555
图2 图3 11b1（3）由y?x2?(b?1)x??(x?1)(x?b)，得A(1, 0)，OA＝1．
4444①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．
BAQA当，即QA2?BA?OA时，△BQA∽△QOA． ?QAOAb所以()2?b?1．解得b?8?43．所以符合题意的点Q为(1,2?3)．
4②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。 因此△OCQ∽△QOA． BAQA当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． ?QAOA所以C、Q、B三点共线．因此
BOQA，即b?QA．解得QA?4．此时Q(1,4)． ?COOAb14
图4 图5
3、如图1，已知抛物线的方程C1：y??1(x?2)(x?m) (m＞0)与x轴交于点B、
mC，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；
3