二元函数极限证明
一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论,在二元函数极
限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如若 有 ,其中 。
求多元函数的极限,一般都是转化为一元函数的极限来求,或利用夹逼定理
来计算。例4求。解由于 , 而
,根据夹逼定理知 ,所以。 a≠0) 。 解 例 求 （
。例6求。解
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由于理知
且,所以根据夹逼定 .例7 研究函数 在点
处极限是否存在。解当x2
+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于 （0，0
）的极限，有值，可得到不同的极限值,所以极限 不存在,但
,。很显然，对于不同的k 。
注意：极限方式的 的区别,前面两个求
本质是两次求一元函数的极限,我们称为累次极限,而最后一个是求二元函数的
极限,我们称为求二重极限。 例8
设函数极限都不存在,因 为对任何
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,当 时 ,
。它关于原点的两个累次 的第二项不存在极限；同理对任何 时,的第一项也不存在极限, 但是因此 。
由例7知,两次累次极限存在,但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存
在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果:定理1若累次极限
都存在,则
三者相等（证明略）。推论 若但不相等, 则二重极限 不 存在 和二重极 限
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, 由于 ,
存在。定义设
在点的某邻域内有意义, 且称 函 数 ,则 在 点 处 连 续 , 记
上式称为函数(值)的全增量 。 则。
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定义 增量。
为函数(值)对x的偏 二元函数连续的定义可写为 偏增量。 若 断点,若 在点
为函数（值）对y的 处不连续, 则称点 是 的间 在某区域
在区域g上连续。若 在闭区域g
g上每一点都连续,则称的每一内点都连续,并在g的连界点 处成立 , 则称
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