二元函数极限证明

为连续曲面。

在闭域g上连续。闭域上连续的二元函数的图形称

关于一元函数连续的有关性质,如最值定理、介值定理、cantor 定理,对于

二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：定理2设在平面有界闭区域g上连续,则

（1）必在g上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2 ） ,当时,都有

。以上关于二元函数的在g上一致连续,即

极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。函数极限的证明 (一)时函数的极限：以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

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二元函数极限证明

例1验证例2验证例3验证证…… (二)时函数的极限：由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: th类似有:例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不

教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。

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等式性质以及有理运算性等。二元函数极限证明

教学方法：讲练结合。一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质):

th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

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二元函数极限证明

例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 函数极限证明函数极限的性质证明函数极限的定义证明利用函数极限定义证明11 用定义证明函数极限方法总结

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