第七章 度量空间和赋范线性空间
复习题：
1.设(X,d)为一度量空间，令
U(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},S(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},
问U(x0,?)的闭包是否等于S(x0,?)？
2.设C?[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数的全体，定义
?d(f,g)??r?012rmaxa?t?b|f(r)(t)?g(r)(t)|(t)|1?|f(r)(t)?g(r).
证明C?[a,b]按d(f,g)成度量空间.
3.设B是度量空间X中闭集，证明必有一列开集O1,O2,?,On,?包含B，而且?Onn?1??B.
4.设d(x,y)为空间X上的距离，证明
?(x,y)?dd(x,y)1?d(x,y)
也是X上的距离.
5.证明点列{fn}按题2中距离收敛于f?C[a,b]的充要条件为fn?的
各阶导数在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数.
6.设B?[a,b]，证明度量空间C[a,b]中的集
{f|当t?B时, f(t)=0}
为C[a,b]中的闭集，而集
A?{f|当t?时B,|f(t)?|a}(?a
为开集的充要条件是B为闭集.
7.设E及F是度量空间中两个集，如果d(E,F)?0，证明必有不相交开集O及G分别包含E及F.
8.设B[a,b]表示[a,b]上实有界函数全体，对B[a,b]中任意两元素
f,g?B[a,b]，规定距离为
d(f,g)?sup|f(t)?g(t)|.
a?t?b证明B[a,b]不是可分区间.
9.设X是可分距离空间，f为X的一个开覆盖，即f是一族开集，使得对每个x?X，有f中开集O，使x?O，证明必可从f中选出可数个集组成X的一个覆盖.
10.设X为距离空间，A为X中子集，令f(x)?infd(x,y),x?X，证
y?A明f(x)是X上连续函数.
11.设X为距离空间，F1,F2为X中不相交的闭集，证明存在开集
G1,G2，使得G1?G2??,G1?F1,G2?F2.
12.设X,Y,Z为三个度量空间，g是Y到f是X到Y中的连续映射，
Z中的连续映射，证明复合映射(gf)(x)?g(f(x))是X到Z中的连续映
射.
13.设X是度量空间,f是X上的实函数，证明f是连续映射的充要条件是对每个实数c，集合
{x|x?X,f(x)?c}和集合{x|x?X,f(x)?c}. 都是闭集.
14.证明柯西点列是有界点列.
15.证明§1中空间S,B(A)以及离散空间都是完备的度量空间.
16.证明l?与C(0,1]的一个子空间等距同构.
17.设F是n维欧几里得空间Rn中有界闭集,A是F到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何x,y?F(x?
d(Ax,Ay)?d(x,y),
y)，有
证明映射A在F中存在唯一的不动点.
18.设X为完备度量空间,A是X到X中映射，记 an?supx?x?d(Ax,Ax?)d(x,x?)nn.
若?ann?1???，则映射A有唯一不动点.
19.设A为从完备度量空间X到Y中映射，若在开球U(x0,r) (r?0)内适合
d(Ax,Ax?)??d(x,x?),0???1.
又A在闭球S(x0,r)?{x|d(x,x0)?r