立体几何线面垂直的证明

立体几何证明 【知识梳理】

1. 直线与平面平行

判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行?线面平行”) 性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(“线面平行?线线平行”)

2..直线与平面垂直

判定定理一 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个平面.(“线线垂直?线面垂直”) 判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.

性质1.如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

(线面垂直?线线垂直) 性质2:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.

三。平面与平面

空间两个平面的位置关系:相交、平行. 1. 平面与平面平行

判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(“线面平行?面面平行”)

2. 两个平面垂直

判定定理:如果一条直线与一个平面垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.(“线面垂直?面面垂直”) 性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.(面面垂直?线面垂直)

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知识点一 【例题精讲】

1.在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点。 (1)求证:EF//平面ABC1D1;(2)求证: 平面BD1C1?B1C EF?B1C; (3)求三棱锥B1?EFC的体积V.

2.如图所示, 四棱锥P?ABCD底面是直角梯形,

BA?AD,CD?AD,CD?2AB,PA?底面ABCD, E为PC的中点, PA=AD=AB=1. (1)证明: EB//平面PAD; (2)证明: BE?平面PDC; (3)求三棱锥B?PDC的体积V.

3、如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点,证明: (1)AE⊥CD(2)PD⊥平面ABE.

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4、.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°(Ⅰ)证明:AB⊥A1C;

练习

1、如图,菱形ABCD与等边△PAD所在的平面相互垂直,AD=2,∠DAB=60°.

(Ⅰ)证明:AD⊥PB;(Ⅱ)求三棱锥C﹣PAB的高.

2.如图1-4所示,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,

∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.求证:EF⊥平面BCG;

3.如图1-1所示,三棱柱ABC - A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC

上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.

(1)证明:AC1⊥A1B;

4、如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.

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