第六章 自旋和角动量内容简介：在本章中，我们将先从实验上引入自旋，分析自旋角动量的性质，然后讨论角动量的耦合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构。最后介绍了自旋的单态和三重态。 § 6.1 电子自旋
§ 6.2 电子的自旋算符和自旋函数 § 6.3 角动量的耦合 § 6.4 电子的总动量矩 § 6.5 光谱线的精细结构 § 6.6 塞曼效应
§ 6.7 自旋的单态和三重态
首先，我们从实验上引入自旋，然后分析自旋角动量的性质。
施特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。如右图所示，由 源射出的处于基K态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP上。结果发现射线束方向发生了偏转，分裂成两条分立的线。这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生里偏转。由于这是处于s态的氢原子，轨道角动量为零，s态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生。这是一种新的磁矩。另外，由于实验上只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中的取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M，则它在沿z方向的外磁场H中的势能为
??????U??MH??MHcos? （6.1.1）
?为外磁场与原子磁矩之间的夹角。则原子z方向所受到的力为
Fz???U?H?Mcos? （6.1.2） ?z?z实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于cos???1 和cos???1两个值。
为了解释施特恩-盖拉赫实验，乌伦贝克和歌德斯密脱提出了电子具有自旋角动量，他们认为： ①
????每个电子都具有自旋角动量S，S在空间任何方向上的投影只能取两个值。若将空间
的任意方向取为z方向，则 Sz???2 （6.1.3） ②
????每个电子均具有自旋磁矩Ms ，它与自旋角动量之间的关系为
??????????e?e? Ms??S （SI） 或 Ms??S (CGS)（6.1.4）
mmc Ms在空间任意方向上的投影只能取两个值：
????Msz??r?r???MB(SI) 或 Msz????MB(CGS) 2m2mcMB是玻尔磁子。
MzMee??(SI) 或 z??(CGS) SzmSzmc 电子自旋的回转磁比率为：
轨道角动量的回转磁比率为： ?ee(SI) 或 ?(CGS) 2m2mc自旋回转磁比率是轨道运动回转磁比率的两倍。
自旋是电子的固有属性，千万不要以为，电子的自旋是因为电子在作机械的自转引起的。可以证明，如果将电子想象成为一个电荷均匀分布的小球，由于电子的半径约为2.8?10?13cm，要想使它的磁矩由于自转而达到一个玻尔磁子，则它表面的转速将超过光速，这显然是与相对论矛盾的。电子自旋是一个新的自由度，与电子的空间运动完全无关。电子自旋是电子的内禀属性，电子的自旋磁矩是内禀磁矩。 电子自旋具有下述属性：
① 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示；
② 它完全是一种量子效应，没有经典对应量。也就是说，当??0时，自旋效应消失。 ③ 它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而且电子自旋在空间任何方向上的投影只
取??2两个值。
6.2 电子自旋算符和自旋函数
自旋是一个力学量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。其次，既然是算符，它的性质就应该由算符所满足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角动量???算符J满足的对易关系是： ?????????J?J?i?J （6.2.1）
???????在量子力学中，不要误以为角动量就是r??p，r?p只是轨道角动量，是角动量的一种。凡
满足（6.2.1）的算符都是角动量。自旋既然是角动量，那么它自然满足： ?????????S?S?i?S （6.2.2）
写成分量形式：
?S??????Sxy?SySx?[Sx,Sy]?i?Sz?S??????Syz?SzSy?[Sy,Sz]?i?Sx （6.2.3） ?S??????Szx?SxSz?[Sz,Sx]?i?Sy???由于自旋S在空间中任意方向的投影只能取??2两个值。因此，任意选定x,y,z坐标系后，
?2,S?2,S?2的值都是?24即 ?,S?,S?三个算符的本征值都是??2，SSxyzxyzSx2?Sy2?Sz2??24 （6.2.4）
?的本征值为： 则SSx2?Sy2?Sz2?3?24 （6.2.5）
2若将任何角动量平方算符的本征值记为J2?j(j?1)?2，j称为角动量量子数，则自旋角动量量子数s满足：
S2?s(s?1)?2?3?24 （6.2.6）
所以S?1/2
???????????????????????x,S?y,S?z则由为方便起见，引入算符? ，令S??即S（6.2.2）及（6.2.7）xyz2222式得
?????????????2i? （6.2.9）
写成分量形式
?x??y???y??x?[??x,??y]?2i??z??y??z???z??y?[??y,??z]?2i??x （6.2.9） ??z??x???x??z?[??z,??x]?2i??y??x,??y,??z的本征值为?1，而且 而??x2???y2???z2?1 （6.2.10） ??的反对易关系为 A和B定义：任意算符??]????BA?? （6.2.11） [?A,BAB?则
?x,??y]????x??y???y??x[?11?y??z???z??y)??y???y(??y??z???z??y) （6.2.12） (?2i2i =0 =同理
?y,??z]??0（6.2.13） [??z,??x]??0 （6.2.14） [??2与S?对易，则在它们的共同表象?,??,??算符的矩阵形式。由于S现在来找特定表象下，?zxyz?的矩阵必然为 中，Sz????10? ???10? （6.2.15） S ， ?????zz2?0?1??0?1?